在国道上撞死牛后逃逸是一种严重的交通肇事逃逸行为，需要承担相应的法律责任。以下是对此情况的具体处理方式及可能面临的法律后果的详细解答：

一、立即停车并处理

1. 确保安全：首先，肇事者应立即停车，并确保自身和周围环境的安全。开启危险警示灯，并在车后适当位置放置警示标志，以防止二次事故的发生。

2. 查看情况：检查牛的伤亡情况，如果牛已经死亡，应记录现场情况，包括拍照或录像以保留证据。

3. 报警并通知保险公司：立即拨打报警电话，向警方报告事故情况，并同时通知保险公司，以便后续处理赔偿事宜。

二、法律后果

1. 民事赔偿责任：

   • 肇事者需承担民事赔偿责任，包括牛的价值、因牛死亡导致的农户经济损失（如养殖成本、预期收益等）以及其他相关费用（如处理事故的费用等）。

2. 行政处罚：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并可以并处十五日以下拘留。

3. 刑事责任：

   • 若逃逸行为导致严重后果，如造成交通严重堵塞、引发其他事故等，或者因逃逸致使牛主人遭受重大损失，逃逸方可能构成交通肇事罪，将面临三年以上七年以下有期徒刑的刑事处罚。
   • 若因逃逸致人死亡（包括因逃逸导致牛死亡且情节严重的情况），逃逸方将面临七年以上有期徒刑的刑事处罚。

三、后续处理建议

1. 积极配合调查：肇事者应积极配合警方的调查工作，如实陈述事故经过，提供相关证据。

2. 主动担责并赔偿：肇事者应主动联系牛的主人，沟通赔偿事宜，并尽快履行赔偿责任，以减轻自身的法律责任。

3. 反思并遵守法律：肇事者应深刻反思自己的行为，增强法律意识，遵守交通法规，避免类似事故的再次发生。

综上所述，国道上撞死牛后逃逸是一种严重的违法行为，肇事者应立即停车处理，并承担相应的法律责任。同时，也应加强交通安全意识，遵守交通法规，共同维护道路交通安全。