在私人酒店工作却没有签订劳动合同，随后被开除的情况下，你通常是可以主张一定的经济补偿的。以下是一些具体的建议和解释：
经济补偿的计算：
经济补偿的计算主要基于你在该酒店的工作年限。具体来说：
- 每满一年工作，你可以向酒店主张一个月工资的经济补偿。
- 如果你的工作年限在六个月以上但不满一年，那么按照一年来计算，即你可以获得一个月工资的经济补偿。
- 如果你的工作年限不满六个月，那么酒店应向你支付半个月工资的经济补偿。
双倍工资差额的主张：
由于未签订劳动合同，你还有权主张双倍工资的差额。但这一点需要注意时效限制，通常是从你入职后的第二个月开始计算，最长不超过一年。因此，如果你在被开除后的一年内提出主张，你有可能获得双倍工资的差额。
赔偿金的主张：
如果酒店的辞退行为存在违法情形，比如辞退理由不合法或违反了相关劳动法规，那么你可以主张赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿的两倍。
证据的收集：
为了维护自己的合法权益，你务必及时收集相关证据。这些证据可能包括：
- 工作记录，如出勤记录、工作任务分配等。
- 工资发放凭证，如银行转账记录、工资条等。
- 任何与酒店或你的工作相关的书面或电子文档，如邮件、短信、通话录音等。
这些证据将有助于你在主张经济补偿、双倍工资差额或赔偿金时提供有力支持。
总结与建议：
- 了解自身权益：首先，你需要明确自己作为劳动者的权益，包括经济补偿、双倍工资差额和赔偿金等。
- 及时收集证据：务必在被开除后及时收集相关证据，以便在后续的主张中提供有力支持。
- 咨询专业律师：如果你对法律程序或自身权益有疑问，建议咨询专业律师，以获得更具体和个性化的法律建议。
- 提出主张：在收集到足够证据后，你可以向酒店提出经济补偿、双倍工资差额或赔偿金的主张。如果酒店拒绝支付，你可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。