结论前置：工作半个月没有合同被辞退，劳动者是可以申请劳动仲裁来维护自己的合法权益的。

详细分析：

1. 未签劳动合同的法律责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。即使工作仅半个月，公司也有与劳动者签订劳动合同的法定义务。
   • 虽然工作未满一个月，还未到法律规定的用人单位必须签订书面劳动合同的宽限期，但在此情况下，若用人单位无故辞退劳动者，仍可能构成违法辞退。

2. 违法辞退的法律后果：

   • 如果公司无正当理由辞退劳动者，即构成违法解除劳动关系。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，在工作半个月被违法辞退的情况下，劳动者可以要求单位支付半个月工资的赔偿金（即经济补偿标准的二分之一，因为未满半年），同时由于是违法辞退，需支付二倍，所以最终是半个月工资的两倍，即一个月的工资作为赔偿金。

3. 劳动仲裁的准备与流程：

   • 收集证据：劳动者需要收集能证明劳动关系的证据，如工资条、银行转账记录、工作证、考勤记录等，以及被辞退的具体时间、原因及相关证据，如辞退通知书等。
   • 提交仲裁申请：向劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书及相关证据材料。仲裁申请书应载明劳动者的基本信息、用人单位的基本信息、仲裁请求（如支付未签合同双倍工资、违法解除劳动关系赔偿金等）、事实与理由。
   • 仲裁流程：包括提交申请、受理决定、送达副本、被申请人答辩、开庭通知、开庭与质证、调解与裁决以及结案等步骤。劳动者需按照仲裁委的安排参与仲裁过程，并准确陈述事实、出示证据、回答仲裁员提问。

4. 注意事项：

   • 仲裁时效：劳动者应在知道自己的权利被侵害之日起一年内提起仲裁申请。
   • 协商优先：在申请仲裁前，建议劳动者先尝试与公司进行协商，以期达成和解，减少不必要的法律程序。

综上所述，工作半个月没有合同被辞退的情况下，劳动者完全有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在申请仲裁前，应做好充分的证据收集工作，并按照仲裁流程进行申诉。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。