针对您提出的“试用期不胜任工作员工不愿意提离职”的问题，我根据相关法律法规和实践经验，为您提供以下详细解答：
明确结论：
用人单位在证明劳动者试用期间不符合录用条件的前提下，有权依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。但整个解除过程必须确保合法性、合规性和合理性。
处理步骤与法律依据：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项规定，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同。
固定证据与明确告知：
- 确保录用条件具体、合法且在招聘时已向应聘者公示，并在员工入职时由其签字确认。
- 收集并固定员工不符合录用条件的证据，如绩效考核记录、工作失误记录等，并确保这些记录有员工签字或有效方式确认。
- 安排正式面谈，明确指出员工不符合录用条件的具体方面，并展示相关证据。同时，给予员工表达意见的机会。
书面通知与办理离职：
- 若沟通无果，用人单位应以书面形式正式通知员工解除劳动合同，明确解除原因为“试用期间不符合录用条件”，并引用相关法律条款和规章制度。
- 确保通知送达员工本人，并保留送达证据。
- 提供离职手续清单，包括工作交接、财物归还等，并及时结算工资。
应对可能的劳动纠纷：
- 若员工提起劳动仲裁或诉讼，用人单位应准备好所有相关证据材料，按时参加仲裁或诉讼程序。
- 在必要时，可向劳动争议调解委员会申请调解，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的可向人民法院提起诉讼。
沟通与协商策略：
- 在采取法律手段之前，建议用人单位与员工进行深入沟通，了解员工不愿离职的真实原因，尝试通过协商解决问题。
- 可以考虑提供调岗、培训或其他合理的替代方案，以减少劳动纠纷的发生。
风险防控措施：
- 避免使用非法解除事由，如“末位淘汰”等，确保考核标准具有客观性和可操作性。
- 保留至少两年的考核档案备查，以应对可能的劳动纠纷。
- 制定统一对外话术，防止信息泄露引发负面舆论。
综上所述，处理试用期不胜任工作员工不愿意提离职的情况时，用人单位应依法依规行事，确保程序的合法性，做好证据的收集和固定工作，以及有效的沟通协商。通过明确告知、书面通知和及时办理离职手续，用人单位可以合理、合法地解决这一问题。同时，准备应对可能的劳动纠纷，确保自身权益得到维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。