决定逮捕的执行机关是公安机关。

在我国刑事诉讼体系中，逮捕是一种严厉的刑事强制措施，用于防止犯罪嫌疑人或者被告人实施妨碍刑事诉讼的行为，逃避侦查、起诉、审判或者发生社会危险性。虽然批准或裁定逮捕的权力主要集中于人民检察院与人民法院，但实际的执行工作则由公安机关负责。

具体来说，当公安机关认为需要逮捕犯罪嫌疑人时，会提交《提请批准逮捕书》及案件资料、证据给同级检察院审查批准。检察院审查后，若认为有必要进行逮捕，便会作出批准逮捕的决策。同样，在审判阶段，如果人民法院决定对被告适用逮捕，这一决定也将由公安机关负责执行。

因此，无论是由检察院批准还是由法院决定，逮捕的执行工作最终都由公安机关来完成。这一分工明确了不同司法机关在刑事诉讼中的职责，确保了司法权力的相互制约与配合，以及司法公正与法律的正确实施。