当对方逃逸且全责却不肯赔偿时，你可以通过以下途径来维护自己的权益：
首先，明确结论：你可以通过报警、向保险公司申请代位追偿、搜集证据向法院起诉等方式来要求对方赔偿。
具体步骤如下：
及时报警并获取事故认定书：
- 事故发生后，务必第一时间报警，并请求交警部门出具事故认定书。这是后续主张权益的关键凭证。
向保险公司报案并申请代位追偿：
- 向自己的保险公司报案，说明情况，并申请代位追偿。保险公司会先行赔付你，然后替你向对方追讨损失。
搜集对方信息并准备诉讼材料：
- 尽可能搜集对方的车辆信息、驾驶证信息、联系方式等，为后续诉讼做准备。
- 同时，妥善保存现场的各类证据，如事故现场的照片、车辆的碰撞痕迹、目击证人的联系方式等。
向法院提起诉讼：
- 若对方仍不配合赔偿，你可向法院提起诉讼，要求其承担赔偿责任。
- 诉讼时需提供充足证据，如事故认定书、医疗费用凭证、车辆维修费用清单等。
- 法院会依照法律规定和证据作出判决，维护你的合法权益。
申请强制执行：
- 若法院判决后对方仍不履行赔偿义务，你可向法院申请强制执行。
- 在此之前，你需积极搜集对方的财产线索，并在起诉后向法院申请财产保全，以确保判决后能够得到有效执行。
法律依据：
- 根据我国相关法律规定，肇事逃逸者需承担相应的民事赔偿责任。若对方拒不赔偿，受害人有权向法院提起诉讼，要求对方赔偿损失。
- 法院会根据事故认定书、医疗费用凭证等证据材料，依法作出判决。若对方不履行判决，受害人可申请强制执行。
总结：
面对对方逃逸全责不肯赔偿的情况，你应保持冷静，及时报警并获取事故认定书，向保险公司报案并申请代位追偿，同时搜集对方信息和证据材料，为后续诉讼做准备。若对方仍不配合赔偿，你可向法院提起诉讼并申请强制执行，以维护自己的合法权益。