在员工请病假的当天，公司一般不能继续解除劳动合同。下面我将从用人单位和劳动者两个角度，详细解释这一结论及其法律依据。

用人单位角度

1. 解除限制：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在病假期间，除非存在特定情形（如劳动者严重违反规章制度等），否则用人单位不得主动解除劳动合同。

2. 解除程序：

   • 若劳动者医疗期满后不能从事原工作或用人单位另行安排的工作，用人单位需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同（《劳动合同法》第四十条）。这一程序在病假期间并不适用。

劳动者角度

1. 权益保护：

   • 劳动者在病假期间享有法律保护，用人单位不得无故解除劳动合同。若收到解除通知，劳动者应首先审查解除的合法性，特别是解除原因和依据是否符合法律规定。

2. 应对措施：

   • 如认为解除不合法，劳动者可与用人单位沟通协商，表达意见和诉求。若沟通无果，可向劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金或恢复劳动关系。

法律依据

• 《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条明确规定了用人单位在劳动者患病或非因工负伤期间不得解除劳动合同的情形。
• 《中华人民共和国劳动合同法》第四十条则规定了用人单位在特定情况下可解除劳动合同的程序，但这一程序并不适用于病假期间。

综上所述，在员工请病假的当天，公司一般不能继续解除劳动合同。这一结论既符合法律规定，也体现了对劳动者权益的保护。如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。