结论：请病假的员工在特定条件下可以协商解除劳动合同，但通常在医疗期内用人单位不得随意解除，除非存在法定特殊情形。以下是对此问题的详细分析：
一、医疗期内用人单位不得随意解除劳动合同
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。
医疗期的定义及时长：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期的长短依据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，范围从3个月到24个月不等。具体为：实际工作年限十年以下且本单位工作年限五年以下为3个月，五年以上为6个月；实际工作年限十年以上且本单位工作年限五年以下为6个月，五年以上十年以下为9个月，以此类推。
二、医疗期满后用人单位可依法解除劳动合同
解除条件：
- 若劳动者在医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
经济补偿：
- 此时，用人单位需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作年限不足一年按一年计，不足六个月按半个月工资计）。
三、员工存在过错时用人单位可解除劳动合同
过错情形：
- 即使员工在医疗期内，若其存在严重违反用人单位规章制度等《劳动合同法》第三十九条规定的情形（如提供虚假病假证明、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等），用人单位也可解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
其他法定情形：
- 如员工在试用期间被证明不符合录用条件等其他法定情形，单位同样有权解除合同。
四、协商解除劳动合同的特别说明
- 协商解除：在医疗期内，虽然用人单位通常不得随意解除劳动合同，但双方仍可以通过协商一致的方式解除劳动合同。这种情况下，用人单位可能需要支付一定的经济补偿，具体数额和方式由双方协商确定。
- 注意事项：协商解除劳动合同应当遵循自愿、平等、协商一致的原则，不得违反法律、行政法规的强制性规定。
五、建议与总结
对用人单位的建议：
- 在处理请病假员工的劳动合同问题时，用人单位应严格遵守相关法律法规，避免违法解除劳动合同带来的法律风险。
- 如需解除劳动合同，应确保符合法定条件，并依法支付经济补偿。
对员工的建议：
- 员工应了解自己的合法权益，当遇到违法解除劳动合同时，能够及时寻求法律援助并维护自己的合法权益。
- 在协商解除劳动合同时，员工应谨慎考虑，确保自己的权益得到充分保障。
总结：请病假的员工在医疗期内用人单位通常不得随意解除劳动合同，但医疗期满后或员工存在过错时，用人单位可依法解除。双方也可以通过协商一致的方式解除劳动合同。在处理此类问题时，建议用人单位和员工都遵循相关法律法规，确保决策合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。