当公司没有提前通知就辞退员工时，赔偿问题的处理确实需要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合具体情况来细致分析。以下是我为您详细梳理的解答：

一、首先判断解除劳动关系的合法性

1. 合法解除：如果公司辞退员工是因为员工严重违反了公司的规章制度、严重失职等符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，并且公司有确凿的证据来支持这一决定，那么公司无需提前通知员工，也无需支付代通知金或经济补偿金。

2. 违法解除：如果公司辞退员工并不属于上述法定情形，或者虽然属于可解除情形但未提前一个月以书面形式通知员工，那么这就构成了违法解除。在这种情况下，员工有权选择要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。

二、赔偿标准的具体说明

1. 代通知金：在特定情形下，如员工患病不能胜任工作、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化等，如果公司合法解除劳动合同但未提前三十日以书面形式通知员工，应额外支付一个月工资作为代通知金。这个“一个月工资”是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。但需要注意的是，在违法解除的情况下，代通知金并不适用。

2. 经济补偿金：

   • 如果员工因公司合法原因（非过错性解除）被辞退，且公司未提前通知，除了代通知金（如果适用）外，公司还需按员工在本单位的工作年限支付经济补偿金。具体计算方式是：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 如果员工选择不要求继续履行违法解除的劳动合同，公司同样需要支付经济补偿金，计算方式同上。

3. 赔偿金：在违法解除的情况下，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。也就是说，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。

三、特殊情况的处理

• 对于在公司工作10年以上的员工，如果属于合法辞退，公司通常无需支付经济补偿（但需注意，某些特定情况下如协商一致解除或公司提出非过错性解除时仍需支付）；如果双方协商一致解除劳动合同，公司应按员工工作年限支付经济补偿；如果属于违法辞退，公司则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。

四、操作建议与注意事项

1. 判断解除合法性：员工在面临辞退时，应首先判断公司的解除行为是否合法，并尽可能收集、保留相关证据以维护自己的权益。

2. 协商与投诉：如果员工认为公司构成违法解除，可以先与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿或补偿。如果协商不成，可以向劳动监察部门投诉，或者依法向劳动仲裁机构申请仲裁。

3. 法律行动：如果员工对仲裁结果不服，有权向法院提起诉讼，要求公司承担法律责任。

4. 专业咨询：在整个过程中，我建议员工咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助，确保自身权益得到充分保障。

综上所述，公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿问题，需要根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。