当公司未提前一个月通知即辞退员工时，赔偿问题的处理确实需要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合具体情况来细致分析。以下是对这一问题的详细解答：

一、首先，要明确解除劳动合同的性质

1. 合法解除：如果公司辞退员工是因为员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，比如严重违反公司规章制度、严重失职等，并且公司有确凿的证据来支持这一决定，那么公司无需提前通知，也不需要支付代通知金或经济补偿金。

2. 违法解除：如果公司辞退员工并不符合上述法定情形，或者虽然符合但未提前一个月以书面形式通知员工，那么这就构成了违法解除。在这种情况下，员工有权选择要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付相应的赔偿金。

二、接下来，我们来看具体的赔偿标准

1. 代通知金：

   • 支付条件：根据《劳动合同法》第四十条的规定，如果员工因患病不能胜任工作、不能胜任工作经过培训或调岗后仍不能胜任、或者劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且双方协商未果等情形，公司未提前三十日以书面形式通知员工即解除劳动合同的，需要额外支付一个月工资作为代通知金。
   • 计算标准：代通知金按照员工上一个月的工资标准来确定。

2. 经济补偿金：

   • 计算标准：经济补偿金是按照员工在本单位工作的年限来计算的，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 支付情形：如果公司辞退员工符合法定解除条件但未提前通知或未支付代通知金，或者双方协商一致解除劳动合同，公司都需要支付经济补偿金。

3. 赔偿金：

   • 在违法解除的情况下，公司需要按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。也就是说，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。

三、特殊情况的处理

• 对于在公司工作10年以上的员工，如果属于合法辞退，公司通常无需支付经济补偿（但需注意，某些特定情况下如双方协商一致解除或公司提出并经双方协商一致解除的，仍需支付）；如果属于违法辞退，公司则需要支付二倍的经济补偿作为赔偿金。

四、操作建议与注意事项

1. 判断解除合法性：员工在面临辞退时，应首先判断公司的解除行为是否合法，并尽可能收集、保留相关证据以维护自己的权益。

2. 协商与投诉：如果认为公司构成违法解除，员工可以先与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿或补偿。如果协商不成，可以向劳动监察部门投诉，或者依法向劳动仲裁机构申请仲裁。

3. 法律行动：如果对仲裁结果不服，员工有权向法院提起诉讼，要求公司承担法律责任。

4. 专业咨询：在整个过程中，建议员工咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助，确保自身权益得到充分保障。

综上所述，公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿问题，需要根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。