当公司未提前一个月通知即辞退员工时，赔偿问题的处理确实需要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合具体情况来细致分析。以下是我为您详细梳理的解答：

一、首先明确解除劳动合同的性质

1. 合法解除：如果公司辞退员工是因为员工存在严重违反规章制度、严重失职等《劳动合同法》第三十九条规定的情形，并且公司有确凿的证据支持，那么这种解除是合法的。在这种情况下，公司无需提前通知员工，也无需支付代通知金或经济补偿金。

2. 违法解除：如果公司辞退员工并不属于上述法定情形，或者虽然属于可解除情形但未提前一个月书面通知员工，那么这种解除就构成违法解除。在这种情况下，员工有权选择要求继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。

二、详细赔偿标准

1. 代通知金：

   • 如果公司辞退员工是因为员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；或者劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议。在这些特定情形下，如果公司未提前三十日以书面形式通知员工，就需要额外支付一个月工资作为代通知金。
   • 代通知金的计算标准是按照劳动者上一个月的工资标准来确定。

2. 经济补偿金：

   • 如果员工因公司合法原因（非过错性解除）被辞退，且公司未提前通知，除了代通知金外，公司还需要按员工在本单位工作的年限支付经济补偿金。具体标准是：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿金的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

3. 赔偿金：

   • 在违法解除的情况下，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。也就是说，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。

三、特殊情况处理

• 对于在公司工作10年以上的员工，如果属于合法辞退，公司通常无需支付经济补偿（但需注意，某些特定情况下如协商一致解除或经济性裁员等，仍需支付）；如果双方协商一致解除劳动合同，公司应按员工工作年限支付经济补偿；如果属于违法辞退，公司则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。

四、建议措施

1. 了解权益：员工在面临被辞退时，应首先了解自己的合法权益，包括是否有权要求代通知金、经济补偿金或赔偿金。

2. 与公司协商：尝试与公司进行友好协商，争取达成双方都能接受的解决方案。在协商过程中，可以明确提出自己的赔偿要求，并依据相关法律法规进行据理力争。

3. 法律途径：如果协商无果，员工可以向劳动争议仲裁机构申请仲裁，必要时可诉诸法院。在申请仲裁或提起诉讼前，建议收集并保留好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等。

4. 专业咨询：在整个过程中，建议员工咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。他们可以根据您的具体情况，为您提供更精准的法律指导和支持。

综上所述，公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿问题需要根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。