出租车驾驶员和出租车公司之间是否构成劳动关系，需根据具体情况综合判断，但通常情况下构成劳动关系，特定情形下可能不构成。以下从不同角度为您详细分析：
一、构成劳动关系的情况
签订劳动合同：
- 如果出租车驾驶员与出租车公司签订了正式的劳动合同，那么双方之间明确建立了劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动合同是确立劳动关系的法律凭证，双方需按照合同约定享有和承担各自的权利与义务。
存在事实劳动关系：
- 即使没有书面的劳动合同，但如果满足以下条件，也可认定为事实劳动关系：
- 驾驶员需遵守公司的各项规章制度，如着装规范、服务标准等；
- 驾驶员接受公司的劳动管理，从事公司安排的有报酬的劳动，如固定排班、服从公司调度等；
- 公司和驾驶员均符合法律、法规规定的主体资格；
- 驾驶员提供的劳动是公司业务的组成部分，如按时出车、提供乘客运输服务等。
- 举例：在承包经营模式中，如果驾驶员不仅缴纳承包费，还受公司规章制度约束，接受公司管理并获取报酬，同样可构成劳动关系。
二、不构成劳动关系的情况
签订承租合同或劳务合同：
- 若出租车驾驶员与公司签订的是承租合同（仅涉及车辆使用权租赁）或劳务合同（提供劳务与支付报酬的关系），则不构成劳动关系。此时，驾驶员与公司之间更多是一种经济合作关系或劳务关系。
个体经营模式与挂靠运营：
- 个体经营模式：个体出租车驾驶员独立经营，自负盈亏，不隶属于特定公司，因此不存在劳动关系。
- 挂靠运营：在挂靠运营中，驾驶员虽名义上服从公司管理，但实际工作时间、路线等由自己决定，公司主要是出于行政管理需要而对其有一定形式的从属性，这并不构成真实的劳动关系。但需注意，部分法院以“名义挂靠”为由仍认定劳动关系，需结合个案证据判断。
劳务派遣模式中的特殊关系：
- 若出租车驾驶员由劳务派遣公司派遣至出租车公司工作，并与劳务派遣公司签订了劳动合同，则由劳务派遣公司负责发放工资、缴纳社保等。此时，驾驶员与劳务派遣公司存在劳动关系，而与实际工作的出租车公司构成用工关系，而非直接的劳动关系。
挂靠经营者雇佣的驾驶员：
- 这类驾驶员由挂靠经营者直接管理和支付报酬，与出租车公司无直接的劳动管理关系，因此也不构成劳动关系。
三、法律建议与风险提示
对于驾驶员：
- 在入职前，应与公司明确签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 在工作过程中，应保留好排班表、罚款记录、公司培训材料等证据，以备在主张劳动权益时使用。
- 如遇到劳动纠纷，可通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式进行解决，确保自身权益得到有效维护。
对于公司：
- 应通过书面协议明确与驾驶员之间的法律关系，避免模糊条款引发纠纷。
- 在管理过程中，应尊重驾驶员的合法权益，避免过度管理或侵犯驾驶员的自主权。
- 如遇到劳动纠纷，应积极与驾驶员协商解决，避免矛盾升级。
总结：出租车驾驶员和出租车公司之间是否构成劳动关系，需根据双方签订的合同类型、实际履行情况以及劳动者的从属性等因素进行综合判断。在实际操作中，应严格遵循法律法规的规定，并结合具体情况进行灵活处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。