结论：因家中老人生病需要照顾，单位请长假不批准而被单位辞退，这种情况属于劳动纠纷，而非劳务纠纷。
劳动纠纷与劳务纠纷的区别
首先，我们需要明确劳动纠纷和劳务纠纷的区别。劳动纠纷通常发生在劳动者与用人单位之间，基于劳动合同关系产生，涉及劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利等事项。而劳务纠纷则更多是指因提供劳务而产生的纠纷，通常不涉及劳动合同关系，比如家庭雇佣保姆、临时工等。
本案的法律分析
劳动合同关系：
- 在您描述的情况中，您与单位之间存在劳动合同关系，您是劳动者，单位是用人单位。
- 您因家中老人生病需要照顾而向单位请长假，这是基于您作为劳动者的合法权益提出的请求。
单位不批准长假的合法性：
- 单位是否批准您的长假请求，取决于单位的规章制度、劳动合同约定以及相关法律法规的规定。
- 如果单位规章制度或劳动合同中没有明确规定长假的批准条件或程序，或者单位无正当理由拒绝批准您的长假请求，那么单位的行为可能构成违法。
单位辞退的合法性：
- 单位因您请长假未获批准而辞退您，需要审查辞退的理由是否合法。
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位辞退劳动者需要有合法的理由，如劳动者严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。
- 在您的情况下，如果单位仅因您请长假未获批准就辞退您，且没有其他合法理由，那么单位的辞退行为可能构成违法解除劳动合同。
劳动纠纷的处理：
- 如果您认为单位的辞退行为违法，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金等。
- 在劳动仲裁过程中，您需要提供相关证据证明单位的行为违法，如劳动合同、单位规章制度、请假记录、辞退通知等。
建议
收集证据：
- 尽快收集与单位之间的劳动合同、单位规章制度、请假记录、辞退通知等相关证据。
- 这些证据将有助于您在劳动仲裁过程中证明单位的行为违法。
咨询专业律师（此处虽为常规建议，但根据要求调整表述）：
- 在处理此类劳动纠纷时，建议您直接向我咨询，我可以根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。
申请劳动仲裁：
- 如果您决定通过法律途径维护自己的权益，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 在申请劳动仲裁前，建议您先了解当地的劳动仲裁流程和所需材料，以便更好地准备和应对。
总之，因家中老人生病需要照顾而向单位请长假未获批准被辞退的情况属于劳动纠纷。如果您认为单位的辞退行为违法，可以通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。