结论：员工在职五个月住院出院后不能胜任工作，公司是否有赔偿需视具体情况而定，主要取决于员工不能胜任工作的原因以及公司的处理方式。以下从不同角度进行分析：

一、员工不能胜任工作的原因

1. 因工伤导致：

   • 如果员工住院是因为工作原因导致的工伤，那么根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在停工留薪期满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位可以解除劳动合同，但需要按照法律规定支付经济补偿金和一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金等。
   • 经济补偿金计算：根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，对于在职五个月的员工，如果因工伤被解除劳动合同，公司应支付半个月工资作为经济补偿金。

2. 非因工伤导致：

   • 如果员工住院并非因工作原因，而是由于个人疾病或其他非工伤原因，且出院后不能胜任原工作，公司不能直接解除劳动合同而不支付任何赔偿。
   • 在这种情况下，公司应首先考虑调整员工的工作岗位或提供必要的培训，以帮助员工适应工作。如果员工仍然不能胜任工作，公司可以依据《劳动合同法》第四十条的规定，提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同，并支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式同上，即在职五个月的员工应获得半个月工资的经济补偿。

二、公司的处理方式

1. 合法解除劳动合同：

   • 无论员工不能胜任工作的原因是什么，公司如果决定解除劳动合同，都必须遵循法律规定的程序和条件，如提前通知、支付经济补偿金等。
   • 如果公司未按照法律规定处理，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，这通常是经济补偿金的两倍。

2. 未解除劳动合同但未安排工作或支付工资：

   • 如果公司未解除劳动合同，但未为员工安排工作或支付工资，员工也有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付工资及可能的赔偿金。

三、建议与注意事项

• 对于员工：如果因住院出院后不能胜任工作，应首先与公司沟通，了解公司的处理方式和自己的权益。如果认为公司的处理方式不合法或不合理，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或寻求法律援助。
• 对于公司：在处理员工不能胜任工作的情况时，应严格遵守法律规定，确保程序的合法性和合理性。同时，应积极与员工沟通，寻求妥善的解决方案，以避免不必要的法律纠纷。

总结：员工在职五个月住院出院后不能胜任工作，公司是否有赔偿取决于员工不能胜任工作的原因以及公司的处理方式。如果因工伤导致且公司合法解除劳动合同，公司应支付经济补偿金和一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金等；如果非因工伤导致且公司合法解除劳动合同，公司应支付经济补偿金；如果公司未按照法律规定处理，员工有权要求公司支付赔偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。