结论：直管公房60年没有租赁合同，要求补房租的合法性需分情况讨论，主要取决于房屋性质、当地政策以及双方约定等因素。
分析：
房屋性质与政策依据：
- 直管公房通常由政府或相关部门管理，其租赁关系往往受到特定政策或法规的调整。若当地政策或法规明确规定了直管公房的租赁期限、租金标准以及续租或补签合同的相关要求，则管理方有权依据这些规定要求承租人补签合同或补交房租。
- 若政策或法规未明确规定，或规定较为模糊，则管理方要求补房租的合法性可能存疑，需要结合具体情况和双方约定来判断。
双方约定与历史沿革：
- 在没有书面租赁合同的情况下，双方的实际履行情况（如租金支付、房屋使用等）可能构成事实上的租赁关系。若承租人长期支付租金且管理方未提出异议，可能视为双方对租赁关系的默认。
- 然而，长期无合同状态并不意味着管理方永远丧失要求补签合同或补交房租的权利。特别是在房屋管理政策发生变化或房屋需要维修、改造等情况下，管理方可能出于管理需要或公共利益考虑，要求承租人补签合同或补交房租。
法律原则与公平性：
- 从法律原则出发，租赁关系应当基于双方自愿、平等、公平的原则建立。若管理方突然要求补交大量房租，而承租人对此并无预期或准备，可能违反公平原则。
- 在此情况下，承租人可以与管理方协商，寻求合理的解决方案，如分期支付、减免部分房租等。若协商无果，承租人还可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。
建议：
- 与管理方沟通：首先，建议承租人与管理方进行沟通，了解要求补房租的具体原因和依据，以及是否有协商的余地。
- 查阅相关政策：承租人可以查阅当地关于直管公房租赁的政策或法规，了解自己的权利和义务，以及管理方的管理权限和要求。
- 寻求法律帮助：若双方无法达成一致意见，或承租人认为管理方的要求不合理或违法，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
可能后果：
- 若管理方的要求合法且合理，承租人可能需要补交房租或补签合同，否则可能面临被要求腾退房屋等后果。
- 若管理方的要求不合法或不合理，承租人可以通过法律途径维护自己的权益，如提起行政诉讼或民事诉讼等。在此过程中，承租人需要保留好相关证据，如租金支付记录、房屋使用情况等，以支持自己的主张。