结论：国企第三方劳务派遣员工患癌症后能否向工作单位工会申请慰问补助，需分情况讨论，具体如下：

1. 劳务派遣员工与用工单位（国企）的关系
   根据《劳动合同法》第五十八条，劳务派遣员工与派遣单位（第三方公司）签订劳动合同，由派遣单位负责工资发放、社保缴纳等劳动权益；而用工单位（国企）仅负责提供劳动条件、进行日常管理。因此，工会慰问补助的申请对象通常为用工单位的正式员工，劳务派遣员工原则上不属于其直接管理范围。
   例外情形：若用工单位与派遣单位在劳务派遣协议中明确约定，用工单位需对派遣员工提供额外福利（如慰问补助），或用工单位工会章程中未限制派遣员工申请资格，则可能存在申请空间。但此类情形需以书面协议或章程条款为依据。

2. 劳务派遣员工与派遣单位（第三方公司）的关系
   派遣单位作为员工的法定用人单位，有义务保障员工的基本劳动权益。若派遣单位设立了工会组织，员工可向派遣单位工会申请慰问补助。根据《企业工会工作条例》第四十条，工会应对困难职工提供生活救助、医疗救助等帮扶，癌症属于重大疾病，符合救助条件。
   操作建议：员工需先确认派遣单位是否成立工会，并查阅其工会章程或救助制度中关于“重大疾病慰问”的具体规定（如补助标准、申请流程等），按要求提交诊断证明、医疗费用单据等材料。

3. 用工单位与派遣单位的协同责任
   实践中，部分国企会要求派遣单位为员工购买补充商业保险（如重大疾病险），或通过“关爱基金”等形式提供额外补助。员工可同时向用工单位人力资源部门、派遣单位工会或社保专员咨询，确认是否存在此类隐性福利。若存在，需按流程申请；若不存在，可尝试与用工单位协商，争取人文关怀支持（如协调派遣单位加快补助审批）。

行动建议：

• 第一步：联系派遣单位工会，确认是否提供重大疾病慰问补助及申请条件；
  
• 第二步：查阅劳务派遣协议，查看用工单位与派遣单位对员工福利的约定；
  
• 第三步：若派遣单位无工会或拒绝申请，可向当地总工会（如区/市总工会）反映情况，寻求协调或法律援助。
  

如有进一步疑问（如具体申请材料、协议条款解读等），可直接向我咨询，我会结合您所在地区的政策细节为您分析。