在公交车与私家车相撞且私家车全责的情况下，公交车上的乘客受伤，乘客有权向私家车车主及其保险公司索赔，同时，如果公交公司存在过错，乘客也可以向公交公司主张相应的权利。以下是详细的分析和处理步骤：
一、事故现场处理与报警急救
- 立即停车与警示：事故发生后，涉事车辆应立即停车，开启危险报警闪光灯，设置警告标志，以防止二次事故的发生。
- 报警与急救：迅速拨打122报警电话报告事故情况，并拨打120急救电话将伤者送往医院救治。
- 保护现场与拍照：在确保安全的前提下，保护事故现场原貌，拍摄多角度照片记录事故细节，这些照片将作为后续责任认定和赔偿处理的重要证据。
二、责任认定与调查
- 交警调查：交警部门会赶赴现场勘查，收集证据，包括询问当事人、查看监控视频等，以查明事故原因和责任。
- 责任划分：交警部门会出具交通事故责任认定书，明确各方责任比例。在本案例中，私家车全责，意味着私家车车主需要承担全部或主要的赔偿责任。
三、乘客受伤赔偿处理
确定赔偿主体：
- 私家车方责任：私家车车主及其保险公司是主要的赔偿主体。交强险会先行赔偿，不足部分由商业三者险按责任比例赔偿，仍有不足则由车主自行承担。
- 公交公司责任：虽然私家车全责，但如果公交公司在事故中存在过错（如未确保乘客安全、车辆存在安全隐患等），乘客也可以向公交公司主张相应的权利。公交公司的承运人责任险会在保险限额内赔偿，超出部分由公交公司承担。不过，在本案例的特定情境下，即私家车全责时，公交公司的责任可能相对较小或不存在，但具体需根据实际情况判断。
赔偿项目及标准：
- 乘客有权索赔医疗费、误工费、护理费、交通费、住院伙食补助费、营养费等实际损失。
- 如构成伤残，还包括残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。
赔偿协商与调解：
- 各方可以自行协商或在交警部门、人民调解委员会主持下调解，达成一致意见后签订书面赔偿协议。
- 在协商过程中，乘客可以依据交通事故责任认定书和相关法律规定，提出合理的赔偿要求。
诉讼解决：
- 如果协商不成，乘客可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，要求责任方承担相应的赔偿责任。
- 在诉讼过程中，乘客需要提供充分的证据证明自己的损失和责任方的过错，以便法院作出公正的判决。
申请强制执行：
- 若判决履行义务人未在规定期限内履行赔偿义务，乘客可以向人民法院申请强制执行，以确保自己的权益得到实现。
四、法律依据与注意事项
法律依据：
- 根据《民法典》第八百二十三条，承运人对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任，但伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。这一条款主要规范了公交公司与乘客之间的客运合同关系，但在本案例中，由于私家车全责，乘客主要依据侵权责任向私家车车主索赔。不过，如果公交公司存在过错，乘客也可以依据该条款向公交公司主张权利。
注意事项：
- 乘客在索赔过程中，应保留好所有与事故相关的证据，如医疗记录、费用发票、交通事故责任认定书等。
- 乘客在协商或诉讼过程中，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供法律支持和建议。
总结来说，在公交车与私家车相撞且私家车全责的情况下，公交车上的乘客受伤，乘客应首先确保自身安全并接受医疗救治，然后依据交通事故责任认定书和相关法律规定，向私家车车主及其保险公司索赔。同时，如果公交公司存在过错，乘客也可以向公交公司主张相应的权利。 在整个过程中，乘客应保留好所有相关证据，并在必要时寻求专业律师的帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律支持，请随时向我咨询。