在私家车出车祸且对方全责的情况下，乘客受伤的责任主要由全责方及其保险公司承担。以下是对此问题的详细分析：
一、责任归属
全责方责任：
- 当交警部门出具事故责任认定书，明确对方车辆全责时，对方车辆的驾驶员（或车主）需对乘客的受伤承担全部赔偿责任。
- 赔偿顺序上，首先由对方车辆投保的交强险在责任限额内进行赔付。若交强险赔付不足，再由对方车辆投保的商业三者险按责任比例承担剩余部分。
- 若仍有不足，则由侵权人（即对方车辆的驾驶员或车主）直接赔偿乘客的损失。
保险赔付：
- 交强险和商业三者险在赔偿过程中起着重要作用。它们能够在保险限额内为乘客提供经济保障，减轻全责方的经济压力。
- 乘客应及时向保险公司报案，并保留好相关医疗记录、诊断证明等证据，以便顺利获得保险赔付。
二、赔偿范围
- 医疗费：以实际发生的医疗费用单据为准，包括住院费、手术费、药费等。
- 护理费：根据护理人员的收入情况和护理期限计算。若乘客需要专人护理，则护理费应得到相应赔偿。
- 误工费：按照乘客因受伤而减少的收入计算。若乘客因伤无法工作，导致收入减少，则误工费应得到赔偿。
- 其他费用：根据具体情况，还可能包括交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。若造成残疾，还需赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费等；造成死亡的，要赔偿丧葬费、死亡赔偿金等。
三、特殊情形
好意同乘：
- 若乘客是免费搭乘私家车，且驾驶员对事故无故意或重大过失，可酌情减轻驾驶员的赔偿责任。但具体减轻程度需法院根据案件情况判断。
乘客自身责任：
- 若乘客在事故中存在过错行为（如未系安全带、干扰驾驶员驾驶等），则需承担相应责任，减轻其他责任人的赔偿责任。
四、法律建议
及时报案：
- 发生事故后，乘客应及时向交警部门报案，并保留好相关证据。同时，向保险公司报案，以便顺利获得保险赔付。
协商与诉讼：
- 乘客可与全责方和保险公司协商赔偿事宜。若协商不成，可通过诉讼途径解决纠纷。在诉讼过程中，乘客应提供充分的证据证明自己的损失和全责方的过错。
寻求法律帮助：
- 若乘客在处理事故过程中遇到法律难题，可向我咨询。我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总结来看，在私家车出车祸且对方全责的情况下，乘客受伤的责任主要由全责方及其保险公司承担。乘客应及时报案、保留证据，并与全责方和保险公司协商赔偿事宜。若协商不成，可通过诉讼途径解决纠纷。在处理过程中，乘客可寻求专业律师的帮助，以确保自己的合法权益得到保障。