结论：在聘用制公办幼儿园工作三年而未签订合同的情况下，幼儿园不能随意解除与您的劳动关系，但您有权要求幼儿园签订书面劳动合同，并可能因未签订合同而获得相应的经济补偿。

详细分析：

1. 关于劳动合同的签订：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。如果用人单位未在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同，那么自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，用人单位应当向劳动者每月支付两倍的工资。
   • 在您的情况下，已经在幼儿园工作了三年，但幼儿园一直未与您签订书面劳动合同。这意味着，从您工作的第二个月开始，幼儿园就应当向您支付双倍工资，直至满一年。然而，由于这一规定有一年的时效限制，即您只能在工作满一年后的一个月内主张这一权利（但实践中，对于持续未签合同的情况，部分法院或仲裁机构可能会考虑支持部分期间的双倍工资差额，具体需根据当地司法实践判断），不过，这并不影响您现在要求幼儿园签订书面劳动合同的权利。

2. 关于劳动关系的解除：

   • 幼儿园不能因为未签订书面劳动合同就随意解除与您的劳动关系。如果幼儿园想要解除劳动关系，必须依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如因您严重违反规章制度、不能胜任工作等合法理由，并且需要遵循法定的程序，如提前通知、支付经济补偿等。
   • 如果幼儿园无正当理由解除与您的劳动关系，那么您有权要求幼儿园支付违法解除劳动关系的赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿的两倍。

3. 关于您的权利主张：

   • 您有权要求幼儿园立即与您签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
   • 如果幼儿园拒绝签订合同或解除劳动关系，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求幼儿园支付未签订合同期间的双倍工资差额（如果仍在时效期内）、违法解除劳动关系的赔偿金（如果适用）以及可能的其他经济补偿。

建议：

• 首先，尝试与幼儿园进行协商，要求签订书面劳动合同，并明确双方的权利和义务。
• 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，寻求行政帮助。
• 同时，您也可以准备相关证据（如工作证、工资条、同事证言等），向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。

后续行动：

• 在采取任何行动之前，建议您先收集并整理好相关证据，以证明您与幼儿园之间存在劳动关系以及幼儿园未与您签订书面劳动合同的事实。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。