针对你提出的问题，关于第三方合同制幼儿老师合同到期后，第三方单方面不续签是否需要赔偿的问题，我可以给出以下分析：
结论：是否需要赔偿，主要取决于合同中的约定以及相关的法律规定。如果合同中明确规定了不续签的赔偿条款，或者存在违反法律规定导致合同无法续签的情况，那么第三方可能需要承担赔偿责任。
分析：
合同约定：
- 首先，你需要查看与第三方签订的劳动合同中是否有关于合同到期不续签的赔偿条款。如果合同中有明确规定，那么按照合同条款执行即可。
- 如果合同中没有明确规定，则需要进一步分析是否存在其他相关条款或约定，如关于合同终止、违约责任等的规定，这些也可能对赔偿问题产生影响。
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，劳动合同到期终止，如果用人单位没有提出续签或者劳动者提出续签而用人单位不同意，且不存在用人单位应当续签而拒不续签的法定情形（如劳动者在孕期、产期、哺乳期等），那么一般情况下用人单位不需要支付经济补偿金。
- 但是，如果用人单位存在违反法律规定导致合同无法续签的情况，如未依法为劳动者缴纳社会保险费、未提供劳动保护或劳动条件等，那么劳动者有权要求用人单位支付经济补偿金。
具体情况分析：
- 如果你的合同中有明确的不续签赔偿条款，且第三方单方面不续签，那么你可以根据合同条款要求第三方承担赔偿责任。
- 如果你的合同中没有明确的不续签赔偿条款，但存在其他相关条款或约定，且第三方单方面不续签违反了这些条款或约定，那么你也可以要求第三方承担相应的违约责任。
- 如果你的合同中既没有明确的不续签赔偿条款，也没有其他相关条款或约定可以被视为违约，且第三方单方面不续签没有违反法律规定，那么一般情况下第三方不需要支付经济补偿金。
建议：
- 首先，仔细查看你的劳动合同，特别是关于合同期限、终止、违约责任等条款，以确定是否存在赔偿的约定。
- 如果合同中没有明确约定，但你认为第三方单方面不续签违反了法律规定或合同约定，你可以考虑咨询专业律师（如我）或相关劳动法律机构，以获取更具体的法律意见和帮助。
- 在与第三方沟通时，保持冷静和理性，尽量通过协商的方式解决争议。如果协商无果，你可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。