结论前置：关于幼儿园公办签合同只签半年以及半年后辞退老师不给签合同的问题，其合法性需分情况讨论，主要取决于合同的具体内容、辞退原因以及是否遵循了相关法律法规。

1. 合同期限的合法性：

   • 一般情况：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的期限可以由用人单位和劳动者协商确定，可以是固定期限、无固定期限或以完成一定工作任务为期限的合同。因此，签订半年的固定期限劳动合同本身并不违法。
   • 特殊情况：然而，如果幼儿园作为用人单位，在签订劳动合同时存在欺诈、胁迫等情形，或者合同内容违反了法律、行政法规的强制性规定，那么该合同可能被视为无效或部分无效。但仅凭合同期限为半年这一点，并不足以直接判定合同违法。

2. 辞退老师的合法性：

   • 合法辞退：如果幼儿园在半年后辞退老师，且辞退原因符合《中华人民共和国劳动合同法》中规定的合法情形（如员工严重违反规章制度、不能胜任工作等），并且幼儿园已经按照法律规定支付了经济补偿（如适用），那么辞退行为可能是合法的。
   • 违法辞退：如果幼儿园辞退老师的原因不符合法律规定，或者未按照法律规定支付经济补偿，那么辞退行为可能构成违法辞退。在此情况下，老师有权要求幼儿园继续履行合同、支付赔偿金或采取其他补救措施。

3. 半年后不给签合同的合法性：

   • 合同到期不续签：如果半年合同到期后，幼儿园选择不与老师续签合同，这本身并不违法。但根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，幼儿园应当向老师支付经济补偿（除非老师主动提出不续签或存在其他法定免除支付经济补偿的情形）。
   • 未续签但继续用工：如果合同到期后，幼儿园继续用工但未与老师续签合同，那么根据法律规定，幼儿园应当自用工之日起一个月内与老师订立书面劳动合同。逾期不订立的，幼儿园可能需要承担支付双倍工资等法律责任。

法律建议：

• 对于老师而言，如果遭遇上述情况，建议首先与幼儿园进行沟通协商，尝试解决问题。如果协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
• 对于幼儿园而言，应当严格遵守相关法律法规，在签订、履行和解除劳动合同时遵循合法、公平、诚实信用的原则。同时，建议幼儿园建立健全的劳动合同管理制度，以避免不必要的法律纠纷。

进一步思考：在实际操作中，劳动合同的签订、履行和解除往往涉及复杂的法律问题和事实认定。因此，在处理相关纠纷时，建议双方充分收集证据、了解法律规定，并在必要时寻求专业法律人士的帮助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。