结论：员工转正后公司提出离职，在以下情况下公司可能无需支付赔偿：员工存在过错被合法解除劳动合同、双方协商一致解除劳动合同且无赔偿约定、劳动合同到期公司不续签且符合法定情形、公司依法进行经济性裁员且程序合法。下面我将从这几个方面详细阐述。

1. 员工存在过错被合法解除劳动合同

   • 法律背景：根据《劳动合同法》的相关规定，如果员工存在严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿。
   • 举例说明：比如，员工在试用期内多次迟到早退，转正后依然屡教不改，严重违反了公司的考勤制度，公司因此解除劳动合同，这种情况下公司无需支付赔偿。
   • 法律建议：公司在解除这类员工劳动合同时，应确保有充分的证据证明员工存在过错，如规章制度、员工违纪记录、相关证人证言等，以避免因证据不足而被认定为违法解除。

2. 双方协商一致解除劳动合同且无赔偿约定

   • 法律背景：根据《劳动合同法》第三十六条，用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。如果双方在协商过程中没有就赔偿问题达成一致，且法律没有规定必须支付赔偿的情况下，公司无需支付赔偿。
   • 举例说明：员工因个人原因想要离职，与公司协商后，公司同意其离职，并且双方没有就赔偿问题进行约定，这种情况下公司无需支付赔偿。
   • 法律建议：在协商解除劳动合同时，双方应明确解除劳动合同的原因、时间、工资结算等事项，并最好以书面形式记录下来，以避免后续产生纠纷。

3. 劳动合同到期公司不续签且符合法定情形

   • 法律背景：根据《劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，劳动合同终止。如果公司决定不续签劳动合同，且员工不存在《劳动合同法》第四十二条规定的情形（如患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的；女职工在孕期、产期、哺乳期的等），公司无需支付赔偿。但需要注意的是，如果公司不续签劳动合同，应提前三十日以书面形式通知员工，或者额外支付员工一个月工资作为代通知金。
   • 举例说明：员工的劳动合同即将到期，公司因业务调整决定不再续签，且员工不存在上述特殊情形，公司提前三十日通知了员工，这种情况下公司无需支付赔偿。
   • 法律建议：公司在决定不续签劳动合同时，应确保符合法定情形，并提前通知员工，以避免因程序违法而被认定为违法解除。

4. 公司依法进行经济性裁员且程序合法

   • 法律背景：根据《劳动合同法》第四十一条，用人单位因生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或者经营方式调整等情形，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，可以依法进行经济性裁员。如果公司按照法定程序进行经济性裁员，且员工不存在《劳动合同法》第四十二条规定的情形，公司无需支付赔偿。但公司应支付员工经济补偿，经济补偿按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
   • 举例说明：公司因市场环境变化导致生产经营发生严重困难，需要裁减部分员工以维持运营。公司按照法定程序进行了经济性裁员，并支付了员工相应的经济补偿，这种情况下公司无需支付赔偿。
   • 法律建议：公司在进行经济性裁员时，应确保符合法定条件，并按照法定程序进行，如提前向工会或者全体职工说明情况、听取工会或者职工的意见、向劳动行政部门报告等，以避免因程序违法而被认定为违法解除。

后续行动建议：如果您作为员工或公司方遇到此类情况，建议首先查阅相关法律法规和劳动合同条款，了解双方的权利和义务。如有需要，可以向我进一步咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。