结论前置：派遣到第三方的劳动合同在第四次续签时，是否签订无固定期限劳动合同，需根据具体情况判断，若满足法定条件，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。以下从不同角度详细分析：

一、法定条件分析

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在满足以下条件之一时，有权要求与用人单位（包括劳务派遣单位）签订无固定期限劳动合同：

1. 连续工作满十年：若劳动者在劳务派遣单位连续工作满十年，且提出或同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。

2. 连续订立二次固定期限劳动合同：若劳动者与劳务派遣单位已经连续订立了二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度、严重失职等）和第四十条第一项（如患病或非因工负伤不能从事工作）、第二项（如不能胜任工作经培训仍不能胜任）规定的情形，当第二次固定期限劳动合同期满，劳动者提出续订劳动合同的，劳务派遣单位应当与其订立无固定期限劳动合同。

二、第四次续签的特殊情况

对于第四次续签的情况，我们需要明确的是，法律并未直接规定第四次续签必须签订无固定期限劳动合同。但是，如果劳动者在第四次续签前已经满足了上述法定条件（如连续工作满十年或连续订立二次固定期限劳动合同且符合其他条件），那么劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。

三、实际操作建议

1. 劳动者角度：

   • 在合同续签前，劳动者应仔细审查自己的工作年限和合同签订情况，确认是否满足签订无固定期限劳动合同的条件。
   • 若满足条件，劳动者应在合同期满前向劳务派遣单位提出续订无固定期限劳动合同的要求，并保留好相关证据（如书面申请、邮件、短信等）。
   • 若劳务派遣单位拒绝签订无固定期限劳动合同，劳动者可以通过法律途径维护自己的合法权益，如向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。

2. 劳务派遣单位角度：

   • 劳务派遣单位应严格遵守《劳动合同法》的相关规定，尊重劳动者的合法权益。
   • 在合同续签前，劳务派遣单位应主动与劳动者沟通，了解劳动者的意愿和需求，并依法与劳动者签订无固定期限劳动合同（若满足条件）。
   • 若劳务派遣单位拒绝签订无固定期限劳动合同且无法提供合法理由，可能面临法律责任和声誉损失。

四、法律后果

若劳务派遣单位在满足法定条件的情况下拒绝与劳动者签订无固定期限劳动合同，劳动者有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，要求劳务派遣单位承担法律责任（如支付赔偿金、继续履行合同等）。

总结与建议：派遣到第三方的劳动合同在第四次续签时，是否签订无固定期限劳动合同需根据具体情况判断。若劳动者满足法定条件，有权要求签订无固定期限劳动合同。在实际操作中，劳动者和劳务派遣单位均应严格遵守法律规定，尊重对方的合法权益，以维护和谐的劳动关系。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。