结论：劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作并遭遇工伤时，用人单位应依法承担工伤认定与赔偿的责任，同时劳动者也有权要求用人单位支付相应的经济补偿并保护自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动关系存续情况
视为续签（事实劳动关系）：
- 根据《劳动合同法》及相关规定，劳动合同期满后，若劳动者仍在原用人单位工作且用人单位未表示异议，则视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，存在事实劳动关系。在此期间发生工伤，用人单位需承担工伤赔偿责任。
超过一个月不满一年未续签：
- 若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资，并视为双方存在劳动关系，同样需承担工伤赔偿责任。
超过一年未续签：
- 此时视为双方已订立无固定期限劳动合同，用人单位仍需承担工伤赔偿责任。
特殊保护情形：
- 在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的，劳动合同应当续延至相应情形消失时终止，用人单位在此期间仍需承担工伤赔偿责任。
二、工伤认定与赔偿流程
申请时间：
- 单位申请：所在单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。特殊情况可适当延长。
- 个人申请：若单位未按时申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接提出工伤认定申请。
申请材料：
- 包括工伤认定申请表、劳动关系证明材料（如工作证、工资条等）、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等。
劳动能力鉴定：
- 伤情稳定后存在残疾或影响劳动能力的，应进行劳动能力鉴定，以确定伤残等级和生活自理障碍程度。
赔偿责任与金额：
- 已缴纳工伤保险：由工伤保险基金支付工伤待遇，包括医疗费用、康复费用、一次性伤残补助金等；用人单位需支付停工留薪期工资等。
- 未缴纳工伤保险：由用人单位支付全部工伤待遇，具体项目和标准参照《工伤保险条例》及当地规定执行。
三、劳动合同与经济补偿
劳动合同续延：
- 工伤期间劳动合同到期，用人单位不得终止劳动合同，应续延至相应情形消失（如医疗期满、伤残等级评定等）。
经济补偿：
- 若用人单位决定不再续签劳动合同（在工伤情形消失后），需按劳动者在本单位工作年限支付经济补偿金。计算公式为：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）。
四、劳动者权益保护建议
保留证据：
- 劳动者应妥善保留与用人单位存在事实劳动关系的证据，如工作记录、工资发放记录、工作证等，以备不时之需。
协商与投诉：
- 首先尝试与用人单位协商解决续签劳动合同或工伤赔偿事宜。协商不成时，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，必要时可提起诉讼维护自身合法权益。
总结与提醒：在处理此类问题时，劳动者应了解自己的权益和用人单位的责任，积极与用人单位沟通协商，并在必要时采取法律手段维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。