结论：外包公司是否需要赔偿您，取决于开除您的具体原因以及您与外包公司之间的劳动合同约定和相关法律法规的规定。以下从不同角度为您详细分析：
一、合法解除劳动合同的情况
如果厂里（即实际用工单位）因您存在严重违反规章制度、严重失职或营私舞弊给单位造成重大损害等合法理由，依据《劳动合同法》的相关规定，通过外包公司合法解除了与您的劳动合同，那么在这种情况下，外包公司通常不需要向您支付赔偿金。因为这是基于您自身的过错或行为导致的合同解除，不符合获得赔偿的条件。
二、违法解除劳动合同的情况
无合法理由解除：如果厂里或外包公司没有合法理由，如没有证据证明您存在严重违反规章制度等行为，就单方面解除了与您的劳动合同，那么这可能构成违法解除。根据《劳动合同法》第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”此时，外包公司作为您的用人单位，需要向您支付赔偿金。
未履行法定程序解除：即使存在合法解除的理由，但如果厂里或外包公司没有按照法定程序进行，如未提前通知您、未听取您的陈述和申辩等，也可能构成违法解除。在这种情况下，外包公司同样需要承担支付赔偿金的责任。
三、经济补偿的计算
如果外包公司需要向您支付赔偿金，那么赔偿金的计算方式如下：
经济补偿标准：根据您在外包公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
赔偿金数额：由于是违法解除，所以赔偿金是经济补偿标准的二倍。即，赔偿金=工作年限×月工资×2。
举例说明：如果您在外包公司工作了3年，月工资为5000元，那么经济补偿为3×5000=15000元，赔偿金则为15000×2=30000元。
四、建议与行动
核实解除原因：首先，您需要核实厂里或外包公司解除与您劳动合同的具体原因，以及是否履行了法定程序。
收集证据：收集与解除劳动合同相关的证据，如解除通知、工资单、工作记录等，以备后续维权之需。
协商与调解：您可以尝试与外包公司进行协商或寻求劳动调解机构的帮助，看是否能够达成和解或调解协议。
申请劳动仲裁：如果协商和调解无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求外包公司支付赔偿金等合法权益。
提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，以上分析仅供参考。如果您有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。