可以。先投诉公司未缴社保，之后再申请劳动仲裁主张未签劳动合同的双倍工资差额，这两个程序并不冲突，且在法律上都是可行的维权途径。以下从法律程序、时间顺序、证据要求三个角度展开分析：
1. 法律程序独立性：社保投诉与劳动仲裁可并行
- 社保投诉：根据《社会保险法》第86条，用人单位未按时足额缴纳社保的，劳动者可向当地社保征收机构（如社保局或税务局）投诉，由行政部门责令补缴。此程序属于行政范畴，不涉及劳动争议仲裁或诉讼。
- 劳动仲裁：根据《劳动争议调解仲裁法》第2条，因未签劳动合同主张双倍工资差额属于劳动争议，需通过劳动仲裁解决。仲裁是民事程序，与社保投诉的行政程序互不干扰。
- 结论：两者分属不同法律程序，劳动者可先启动社保投诉，再申请劳动仲裁，或同时进行，法律均允许。
2. 时间顺序：社保投诉不影响仲裁时效
- 社保投诉时效：社保补缴无明确时效限制（部分地区可能规定2年内追溯，但实践中常支持补缴全部在职期间）。
- 仲裁时效：未签劳动合同的双倍工资差额主张需在劳动关系终止后1年内提出（或自用工满1年起算1年，具体看地区规定）。例如，若用工满1年未签合同，劳动者需在满1年后的1年内申请仲裁，否则可能丧失胜诉权。
- 关键点：社保投诉的进行不会中断或延长仲裁时效。若劳动者担心时效问题，建议优先启动仲裁程序（尤其是临近1年期限时），再同步处理社保投诉。
3. 证据要求：需分别证明不同事实
- 社保投诉证据：需证明劳动关系存在（如劳动合同、工资流水、工牌等）及公司未缴社保的事实（如社保缴费记录、公司未申报的证明等）。
- 仲裁证据：需证明未签劳动合同的事实（如无书面合同、公司拒绝签订的沟通记录等），以及劳动关系存续期间（用于计算双倍工资差额的期限）。
- 协同性：若社保投诉中已收集劳动关系证据（如工资流水、工牌等），可直接用于仲裁，减少重复举证成本。
操作建议
- 优先处理时效紧迫事项：若未签劳动合同的仲裁时效即将届满（如用工满1年后已接近1年期限），应优先申请仲裁，避免权利丧失。
- 同步推进社保投诉：在仲裁期间或之后，可向社保部门投诉要求补缴社保，两者互不影响。
- 注意地区差异：部分地区对社保补缴期限、仲裁时效计算可能有特殊规定，建议根据当地政策调整策略。
总结：先投诉社保再申请仲裁未签合同是合法且可行的，但需注意仲裁时效，并合理规划程序顺序以最大化维权效果。如有具体案件细节（如入职时间、地区等），可进一步向我咨询以制定精准方案。