针对您提出的问题，即“用人单位没有与员工签订合同，在试用期辞退员工需要出示什么手续”，以下是我为您整理的详细解答：
在试用期内，尽管用人单位与员工可能尚未签订正式的劳动合同，但解除劳动关系时，用人单位仍需遵循一定的法律程序和手续，以确保双方权益得到合法保护。以下是用人单位在试用期辞退员工时应出示或完成的手续：
明确解除理由与合法性：
- 用人单位需确保解除劳动合同的决定有合法依据，如员工不符合录用条件、严重违反公司规章制度等，并准备好相关证据以支持其决定。
书面通知员工：
- 用人单位应以书面形式（如解除劳动合同通知书）明确告知员工解除劳动合同的决定，包括解除日期、理由及具体情形。这有助于确保信息准确无误，并作为后续可能争议的证据。
安排工作交接：
- 制定详细的工作交接清单，包括财物归还、工作资料、客户信息等，并与员工共同签字确认。这有助于确保工作的连续性和公司资产的安全。
结算工资：
- 按照法律规定和双方约定，一次性付清员工试用期的工资。工资数额应按实际工作天数计算，并确保及时支付，避免拖欠。
出具解除证明：
- 用人单位应出具解除劳动合同的证明，写明劳动合同期限（尽管未签订正式合同，但可注明试用期起止日期）、解除日期、工作岗位、工作年限等信息。这份证明对员工后续就业及办理相关手续至关重要。
办理档案和社保转移：
- 在解除劳动合同后，用人单位应在规定时间内（通常为十五日内）为员工办理档案和社会保险关系转移手续。这有助于员工顺利过渡到新的工作环境。
注意违法解除的责任：
- 如果用人单位违法解除劳动合同（如无合法理由或未遵循法定程序），除需履行上述手续外，还可能需按《劳动合同法》规定支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍。
额外建议：
- 保留证据：在整个过程中，用人单位应保留好所有相关证据，如解除劳动合同通知书、工作交接清单、工资支付凭证等，以备不时之需。
- 沟通协商：在解除劳动合同前，用人单位应与员工进行坦诚沟通，尽量通过协商达成一致意见，以减少不必要的纠纷和损失。
- 遵守法律法规：用人单位应严格遵守劳动法、劳动合同法等相关法律法规，确保解除劳动合同的程序合法、合理。
综上所述，用人单位在试用期辞退员工时，应出示或完成一系列手续以保护双方权益。希望这些信息能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步咨询，请随时联系。