结论前置：在没有签订劳动合同且没有试用期约定的情况下，如果公司无故辞退员工，员工有权要求公司支付赔偿金；若公司能证明员工存在严重违规等法定解除情形，则无需支付赔偿金。同时，员工还有权要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。
一、公司无故辞退员工的情况
赔偿金支付：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果公司无故辞退员工，即违法解除劳动关系，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 举例：假设员工在公司工作了3个月，月工资为5000元，若公司无故辞退，则需支付半个月工资的赔偿金，即2500元。
双倍工资差额：
- 由于公司未与员工签订劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，公司还需向员工支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。具体计算方式为：从用工之日起超过一个月不满一年的期间，每月支付二倍的工资。
- 举例：若员工在公司工作了3个月，且未签订劳动合同，则第二个月和第三个月公司需支付双倍工资，即除正常工资外，还需额外支付一个月的工资作为赔偿。
二、公司能证明员工存在严重违规等法定解除情形的情况
无需支付赔偿金：
- 如果公司能证明员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，公司可以合法解除劳动合同，且无需支付赔偿金。
仍需支付双倍工资差额（如未签合同）：
- 尽管公司可以合法解除劳动合同，但如果未与员工签订劳动合同，仍需按照上述规定支付双倍工资差额。
三、员工权益保障途径
与公司协商：
- 员工可以尝试与公司进行协商，寻求和解，以尽快解决问题并减少损失。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，请求介入调查并处理公司的违法行为。
申请劳动仲裁：
- 员工还可以向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律程序解决争议。在申请仲裁时，员工需要提交仲裁申请书、双方身份信息及相关证据材料。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不服，员工可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
四、证据保留的重要性
- 在日常工作中，员工应特别注意保留与用人单位存在劳动关系及被非法辞退等证据。这些证据对于维护自身权益至关重要，包括但不限于工作记录、薪资单、通讯记录、证人证言等。在申请仲裁或提起诉讼时，这些证据将起到关键作用。
总结与建议：在没有签订劳动合同且没有试用期约定的情况下，如果公司无故辞退员工，员工有权要求公司支付赔偿金和双倍工资差额。如果公司能证明员工存在严重违规等法定解除情形，则无需支付赔偿金，但仍需支付双倍工资差额（如未签合同）。建议员工在遇到此类问题时，及时收集证据并咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地维护自己的合法权益。