结论：工厂员工因迟到违纪且未签署离职文件被赶走后，是否可以重新面试入职，需根据具体情况分析，包括工厂的规章制度、解除劳动合同的合法性以及员工个人意愿等因素。以下从不同角度进行详细分析：
一、工厂规章制度与解除劳动合同的合法性
规章制度内容：
- 首先，需要查看工厂的规章制度中是否明确规定了迟到违纪的处理方式，以及是否包含因违纪可以解除劳动合同的条款。
- 如果规章制度中明确规定了因迟到违纪可以解除劳动合同，且该规章制度已经过民主程序制定并公示，那么工厂在解除劳动合同时可能具有合法性。
解除劳动合同的程序：
- 即使规章制度中规定了因违纪可以解除劳动合同，工厂在解除时也需遵循法定程序，如提前通知、听取员工意见、出具解除劳动合同证明等。
- 如果工厂未遵循法定程序解除劳动合同，可能构成违法解除，员工有权要求继续履行劳动合同或获得赔偿。
二、员工重新面试入职的可能性
员工个人意愿：
- 如果员工希望重新回到工厂工作，且工厂没有明确禁止其再次入职，那么员工可以尝试重新面试。
- 在面试时，员工应如实说明之前离职的原因，并表达愿意遵守工厂规章制度的意愿。
工厂的态度：
- 工厂可能根据员工的违纪情况、解除劳动合同的合法性以及工厂当前的人力资源需求等因素，决定是否允许员工重新入职。
- 如果工厂认为员工之前的违纪行为严重，或者解除劳动合同的程序合法且无需再雇佣该员工，那么员工重新入职的可能性可能较小。
法律限制：
- 从法律角度来看，没有明确规定因违纪被解除劳动合同的员工不能再次入职原工厂。
- 但是，如果员工在之前的劳动合同期间存在严重违反规章制度的行为，且该行为对工厂造成了重大损失或不良影响，工厂可能会在内部规章制度中设置相应的限制条款，如禁止再次入职等。
三、建议与注意事项
了解规章制度：
- 在尝试重新入职前，员工应仔细了解工厂的规章制度，特别是关于违纪处理和解除劳动合同的条款。
与工厂沟通：
- 员工可以尝试与工厂的人力资源部门或相关负责人进行沟通，了解工厂对其重新入职的态度和可能性。
准备面试材料：
- 如果决定重新面试，员工应准备好相关的面试材料，如简历、工作经历证明等，并如实说明之前离职的原因和态度。
寻求法律帮助：
- 如果员工认为工厂在解除劳动合同时存在违法行为，或者对重新入职有疑问和困惑，可以寻求专业律师的法律帮助，以维护自己的合法权益。
总结来说，工厂员工因迟到违纪且未签署离职文件被赶走后，是否可以重新面试入职并没有明确的法律规定。这取决于工厂的规章制度、解除劳动合同的合法性以及员工个人意愿和工厂的态度等多种因素。如果员工希望重新入职，建议仔细了解工厂的规章制度，与工厂进行沟通，并准备好相关的面试材料。如有需要，可以寻求专业律师的法律帮助。