结论：给私人老板开车没签合同且没交社保的行为，既违反了劳动合同法的相关规定，也违反了社会保险法的相关规定。以下是详细分析：
未签订劳动合同的违法性
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未按时签订，用人单位需承担相应法律责任，包括向劳动者支付双倍工资等。
- 在您描述的情形中，给私人老板开车，即便未签订书面合同，只要存在事实上的劳动关系（如实际提供劳动、接受管理、领取报酬等），即视为已建立劳动关系。因此，未签订劳动合同的行为是违法的。
未缴纳社保的违法性
- 根据《中华人民共和国社会保险法》的规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记，并按时足额缴纳社会保险费。这包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险等。
- 在您的情况下，私人老板作为用人单位，有义务为您缴纳社会保险。未缴纳社保的行为不仅违反了法律规定，也损害了您的合法权益，如享受社会保险待遇的权利。
建议与行动：
- 与老板协商：首先，您可以尝试与老板沟通，明确表达您的诉求，即要求签订书面劳动合同并补缴社会保险。在协商过程中，您可以引用相关法律法规，增强说服力。
- 收集证据：为了保障自己的权益，您应收集并保存好与劳动关系相关的证据，如工资条、工作证、考勤记录、工作照片或视频等。这些证据在后续可能的法律纠纷中将起到关键作用。
- 寻求法律援助：如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求老板履行法定义务。在此过程中，如有需要，您可以随时向我咨询相关法律问题，我会为您提供专业的法律建议和支持。