结论：五月底通知员工合同于六月底到期，这一行为本身并不直接等同于辞退或明确的终止合同通知，其性质需结合通知的具体内容、双方合同约定及法律规定来判断。下面我将从不同角度详细分析这一问题。
一、通知的性质判断
合同到期自然终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同即行终止。因此，如果五月底的通知仅仅是告知员工合同将于六月底到期，并未提及续签或终止的具体安排，那么这更像是一个合同到期前的提醒，而非辞退或终止合同的通知。
终止合同通知：
- 如果五月底的通知中明确表示，合同到期后将不再续签，且符合法律规定的终止条件（如提前通知、支付经济补偿等），那么这可以被视为终止合同的通知。但需要注意的是，终止合同通知应当明确、具体，并符合法律规定的程序和要求。
辞退通知：
- 辞退通常指的是在合同期限内，因员工违反公司规定、不胜任工作等原因，由公司单方面解除劳动合同的行为。如果五月底的通知中并未提及员工存在违反规定或不胜任工作等情形，而是仅仅基于合同到期的原因，那么这不应被视为辞退通知。
二、法律建议
审查通知内容：
- 作为公司，应仔细审查五月底发出的通知内容，确保其准确、清晰地表达了公司的意图。如果希望合同到期后不再续签，应在通知中明确说明，并告知员工相关的法律后果和权益。
遵守法律规定：
- 在终止或解除劳动合同时，公司应严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，包括提前通知、支付经济补偿等义务。否则，可能面临法律纠纷和赔偿责任。
与员工沟通：
- 在发出通知后，公司应积极与员工进行沟通，解答员工的疑问，并听取员工的意见和诉求。这有助于减少误解和冲突，维护良好的劳动关系。
三、可能的法律后果
如果通知被视为终止合同通知：
- 公司应按照法律规定支付经济补偿（如果适用），并办理相关的离职手续。如果公司未履行这些义务，员工有权向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼。
如果通知被视为辞退通知且缺乏法律依据：
- 公司可能面临违法解除劳动合同的赔偿责任，包括支付赔偿金、继续履行合同等。这将对公司的声誉和财务状况造成不利影响。
总结与进一步思考：五月底通知员工合同于六月底到期，其性质需根据通知的具体内容、双方合同约定及法律规定来判断。作为公司，应谨慎处理这一事宜，确保通知的准确性和合法性，并积极与员工进行沟通。如果你在这一过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。