在派遣员工发生工亡的情况下，派遣公司和用工单位各自承担的责任和费用主要依据《中华人民共和国劳动合同法》和《工伤保险条例》的相关规定来确定。以下是对这一问题的详细分析：
一、派遣公司的责任
工伤保险责任：
- 根据《工伤保险条例》的规定，派遣公司作为用人单位，应当为派遣员工缴纳工伤保险费。如果派遣员工在用工单位发生工亡，派遣公司需承担工伤保险责任，包括支付工亡补助金、丧葬补助金、供养亲属抚恤金等工伤保险待遇。
劳动合同责任：
- 派遣公司与派遣员工之间存在劳动合同关系，因此派遣公司还需承担劳动合同中约定的其他责任，如支付未结清的工资、经济补偿金等（如果适用）。
二、用工单位的责任
连带赔偿责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条的规定，用工单位给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。这意味着，如果用工单位在工作环境、安全措施等方面存在过错，导致派遣员工工亡，用工单位需与派遣公司共同承担赔偿责任。
实际用工过程中的安全保障责任：
- 用工单位作为实际使用派遣员工的一方，有义务提供安全的工作环境，采取必要的安全措施，防止工伤事故的发生。如果用工单位未履行这一义务，导致派遣员工工亡，用工单位需承担相应的法律责任。
三、具体费用分担
工伤保险待遇费用：
- 工伤保险待遇费用（如工亡补助金、丧葬补助金、供养亲属抚恤金等）原则上由工伤保险基金支付。但如果派遣公司未依法为派遣员工缴纳工伤保险费，则这些费用需由派遣公司承担。同时，如果用工单位存在过错，导致派遣员工工亡，用工单位可能需与派遣公司共同承担这些费用。
其他费用：
- 除了工伤保险待遇费用外，还可能涉及其他费用，如处理工伤事故的交通费、住宿费、误工费等。这些费用的分担需根据具体情况和双方协商确定。如果双方无法协商一致，可以通过法律途径解决。
四、建议与注意事项
派遣公司应依法缴纳工伤保险费：
- 派遣公司应严格按照《工伤保险条例》的规定，为派遣员工缴纳工伤保险费，以降低自身风险。
用工单位应加强安全管理：
- 用工单位应加强工作场所的安全管理，采取必要的安全措施，防止工伤事故的发生。同时，用工单位应定期对派遣员工进行安全培训，提高员工的安全意识。
双方应明确责任分担：
- 派遣公司和用工单位应在劳务派遣协议中明确约定在工伤事故发生时的责任分担方式，以避免纠纷的发生。
及时咨询专业律师：
- 在处理工伤事故时，派遣公司和用工单位应及时咨询专业律师，了解自身权利和义务，以便更好地应对纠纷和诉讼。
如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供详细的法律建议和解决方案。