当事人应向有管理和决定权的主体提出回避申请，具体对象和方式因案件性质和阶段的不同而有所差异。以下是从不同角度对这一问题的详细解答：

一、刑事诉讼中的回避申请对象

1. 侦查人员：若当事人认为侦查人员与案件有利害关系，可能影响公正处理，应向公安机关负责人提出回避申请。
2. 检察人员：对于检察人员，当事人应向检察长提出回避申请；若检察长需回避，则由检察委员会讨论决定。
3. 审判人员：在审判阶段，当事人应向人民法院院长提出回避申请；若院长需回避，则由审判委员会决定。

二、民事诉讼中的回避申请对象

1. 审判人员：当事人申请审判人员回避的，应向审理案件的人民法院提出，通常由院长决定。
2. 其他人员：对于书记员、翻译人员、鉴定人、勘验人等辅助人员，当事人同样应向审理案件的人民法院提出回避申请，一般由审判长进行审查和决定。

三、行政诉讼中的回避申请对象

行政诉讼中的回避申请与民事诉讼类似。当事人申请审判人员回避的，应向审理该案件的人民法院提出，由院长决定；若院长担任审判长时的回避，则由审判委员会决定。对于其他人员的回避申请，同样由审理案件的人民法院决定。

四、特殊情形下的回避申请

1. 全体回避：若法院全体人员与案件有利害关系，当事人可申请全体回避。此时，案件可能需按指定管辖的规定由其他法院审理。
2. 命令回避：上级法院、检察院或公安机关发现下级存在需要回避的事由时，有权命令其回避。

五、申请回避的方式和程序

1. 申请方式：当事人可以以口头或书面形式提出回避申请。为确保申请内容清晰、具体，建议优先采用书面形式，明确写明被申请人姓名及职务、申请回避的具体理由和事实依据等。
2. 申请时间：当事人应在案件开始审理时提出回避申请，最晚可在法庭辩论终结前提出。若回避事由在案件开始后才发现，或在法庭辩论终结后发生，当事人仍可在知悉事由后立即提出申请。
3. 复议权利：对驳回回避申请的决定，当事人及其法定代理人通常享有一次复议的权利。复议期间，被申请回避的人员不停止参与本案的工作。

六、实际案例说明

以一起合同纠纷案为例，若当事人发现承办法官与对方当事人存在亲属关系，可能影响公正审理，此时当事人应在开庭前或法庭辩论终结前，向审理案件的人民法院提交书面回避申请，明确写明法官的姓名、职务以及申请回避的具体理由和事实依据。法院将依法对回避申请进行审查，并作出决定。

总结与建议：申请回避是法律赋予当事人的一项重要权利，旨在确保司法程序的公正性和独立性。当事人在行使这一权利时，应严格遵守相关法律法规的规定，确保申请的合法性和有效性。若您在具体案件中遇到回避申请的问题，欢迎随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。