核心结论：未交保险且未签合同的情况下，能否按工伤赔偿需分情况讨论，关键在于是否构成事实劳动关系以及是否符合工伤认定条件。以下是具体分析：
1. 未签合同≠不存在劳动关系
根据《劳动合同法》及司法实践，即使未签订书面劳动合同，只要满足以下条件，仍可能被认定为事实劳动关系：
- 劳动者实际接受用人单位管理（如遵守食堂考勤、工作安排等）；
- 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分（如食堂工作属于学校后勤服务）；
- 用人单位向劳动者支付劳动报酬（如工资发放记录）。
建议：若符合上述条件，可收集工作证、工资条、同事证言、考勤记录等证据，证明与学校存在事实劳动关系。
2. 未交保险不影响工伤认定，但影响赔偿方式
- 工伤认定：根据《工伤保险条例》，只要存在劳动关系且因工作受伤，即可申请工伤认定，与是否缴纳工伤保险无关。
- 赔偿来源：
- 若学校未缴纳工伤保险，根据《工伤保险条例》第62条，学校需自行承担全部工伤赔偿费用（包括医疗费、伤残补助金等）；
- 若学校拒绝赔偿，劳动者可向劳动仲裁委员会申请仲裁，要求学校按工伤标准支付赔偿。
3. 关键步骤：申请工伤认定
- 时效要求：需在受伤后1年内向当地社保部门（或未参保时向劳动部门）申请工伤认定；
- 所需材料：劳动关系证明（如前所述）、医疗诊断证明、事故经过说明等；
- 认定结果：若被认定为工伤，即使未签合同、未交保险，学校仍需赔偿；若未被认定，可进一步通过劳动仲裁确认劳动关系后重新申请。
4. 特殊情形：第三方责任
若受伤是由第三方（如食堂设备供应商、其他学生等）造成，可同时主张：
- 工伤赔偿：向学校主张（因工作受伤）；
- 侵权赔偿：向第三方主张（如设备故障导致受伤）。
但需注意，医疗费等实际支出部分不可重复获赔。
行动建议：
- 立即收集证据证明劳动关系及受伤经过；
- 在1年内申请工伤认定；
- 若学校拒绝赔偿，尽快申请劳动仲裁；
- 如有疑问或需协助，可直接向我咨询具体操作流程。