结论：双方协议解除劳动关系且不要赔偿的情况下，是否需要写离职申请取决于双方的具体约定和实际情况。以下从不同角度进行分析：

一、从协议解除劳动关系的法律性质出发

协议解除劳动关系是双方协商一致的结果，具有法律效力。在协议中，双方可以就解除劳动关系的条件、时间、经济补偿等事项进行约定。如果双方已经明确约定不需要支付赔偿，并且这一约定不违反法律法规的强制性规定，那么该约定是有效的。

关于离职申请：

1. 如果协议中明确约定不需要写离职申请：那么双方只需按照协议履行即可，无需再额外提交离职申请。

2. 如果协议中没有明确约定是否需要写离职申请：

   • 从法律程序的角度来看，离职申请通常是员工向用人单位提出解除劳动关系的书面通知。但在双方已经协商一致解除劳动关系的情况下，离职申请可能并非必需。
   • 然而，为了确保双方权益的明确和避免后续纠纷，建议双方可以就离职手续（包括是否需要写离职申请）进行明确约定。

二、从实际操作和避免纠纷的角度出发

1. 建议写离职申请：

   • 即使双方已经协议解除劳动关系且不要赔偿，写一份离职申请也可以作为双方解除劳动关系的书面证据，有助于明确双方的权利和义务。
   • 离职申请中可以明确解除劳动关系的时间、原因等关键信息，为后续可能出现的纠纷提供有力证据。

2. 如果不写离职申请：

   • 双方应确保协议中明确约定了解除劳动关系的所有关键事项，包括时间、条件、经济补偿等。
   • 双方应保留好协议原件及相关证据，以备不时之需。

三、特殊情况下的考虑

1. 如果用人单位要求写离职申请：

   • 员工应配合用人单位的要求，写一份符合实际情况的离职申请。
   • 在离职申请中，可以注明双方已经协商一致解除劳动关系且不要赔偿的情况，以避免后续纠纷。

2. 如果员工担心写离职申请会影响自己的权益：

   • 员工可以在写离职申请前咨询专业律师或法律机构，了解自己的权益和义务。
   • 在离职申请中，可以明确保留自己的合法权益，如要求用人单位出具解除劳动关系的证明、办理社保转移等手续。

建议：为了确保双方权益的明确和避免后续纠纷，建议双方在协议解除劳动关系时，就离职手续（包括是否需要写离职申请）进行明确约定。如果双方对此有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。