结论：即使解除劳动关系通知书上未明确写明学历造假，公司仍有可能基于学历造假的事实认定劳动合同无效，并无需支付违法解除赔偿金，但关键在于公司能否提供充分证据证明学历造假的事实。
法律分析：
学历造假构成欺诈：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条和第三十九条，以欺诈手段使对方在违背真实意思的情况下订立或变更的劳动合同无效，用人单位有权解除此类合同。学历造假显然构成欺诈，因为它误导了公司对员工真实能力的判断，从而影响了劳动合同的订立。
解除劳动合同的合法性：
- 公司若能提供充分证据证明员工学历造假，即使解除劳动关系通知书上未明确提及，公司仍可以合法解除劳动合同。这是因为劳动合同的无效是基于欺诈事实的存在，而非解除通知书的表述。
无需支付经济补偿：
- 在学历造假导致的劳动合同无效情况下，公司无需向员工支付任何经济补偿。这是因为员工的行为已经违反了诚信原则，公司有权保护自身利益不受损害。
实际操作建议：
证据收集与保留：
- 公司应妥善保存员工入职时提交的学历证明材料原件或复印件，以及任何能够证明学历造假的证据，如学校或教育机构的书面证明、网络查询结果等。
解除劳动合同的程序：
- 尽管解除劳动关系通知书上未明确写明学历造假，但公司在解除劳动合同时仍应遵循法定程序，如事先通知工会（如有）、出具解除或终止劳动合同证明等。
- 在解除劳动合同通知书中，虽然未直接提及学历造假，但可以概括性地说明解除理由为“员工存在欺诈行为，导致劳动合同无效”，并在后续程序中提供具体证据。
法律风险防范：
- 为避免类似纠纷，公司应在招聘过程中加强对应聘者学历、资历的审核，采用多种手段验证其真实性。
- 同时，公司应建立健全的内部管理制度，明确学历造假的处理流程和责任追究机制，以便在发现学历造假时能够迅速、有效地处理。
可能面临的挑战与应对：
员工否认学历造假：
- 如果员工否认学历造假，公司需要提供充分证据来证明其欺诈行为。这可能包括学校或教育机构的书面证明、网络查询结果、员工入职时的自我陈述等。
解除劳动合同通知书的表述问题：
- 尽管解除劳动关系通知书上未明确写明学历造假，但公司可以通过后续程序（如劳动仲裁或诉讼）来补充说明解除理由，并提供相关证据。
- 为避免此类问题，公司在制作解除劳动合同通知书时应尽量详细、准确地载明解除事实、理由及依据。
总结与建议：
学历造假是严重的欺诈行为，公司有权依法解除劳动合同且无需支付经济补偿。然而，在实际操作中，公司需要确保能够提供充分证据证明学历造假的事实，并遵循法定程序解除劳动合同。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。