结论前置：

1. 私人单位不能仅因员工怀孕且未签合同就将其辞退。即使未签订书面劳动合同，但只要存在实际用工行为，劳动关系即已成立，且孕期女职工享有特殊法律保护，单位不得随意解除劳动合同。
2. 若单位违法辞退，孕期女职工有权要求继续履行劳动合同或获得违法解除劳动合同的赔偿金。

详细分析：

一、劳动关系的认定与未签合同的法律后果

根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，这一关系的建立并不依赖于书面劳动合同的签订。因此，即使私人单位没有与员工签订书面劳动合同，但只要存在实际用工行为，如支付工资、安排工作等，劳动关系即已成立。

若单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条，单位需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。这一规定旨在保护劳动者的权益，防止单位通过不签合同来规避法律责任。

二、孕期女职工的特殊保护

《劳动合同法》第四十二条明确规定，女职工在孕期、产期、哺乳期内，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这一规定体现了法律对孕期女职工的特殊保护，旨在保障她们在特殊时期的合法权益，防止因非个人原因而失去工作。

三、单位违法辞退的法律后果

如果私人单位在没有合法理由的情况下辞退了孕期女职工，这一行为构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的相关规定，孕期女职工有权要求单位继续履行劳动合同，或者获得违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍，经济补偿则根据劳动者在本单位的工作年限和月工资来确定。

四、维权途径

若孕期女职工遭遇违法辞退，可以通过以下途径维护自己的合法权益：

1. 协商解决：首先尝试与单位进行协商，明确表达自己的诉求，要求单位继续履行劳动合同或者支付赔偿金。
2. 投诉与仲裁：若协商不成，可以向当地劳动监察部门投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在投诉或申请仲裁时，需要提供相关证据，如工资单、工作记录、辞退通知等，以证明自己的劳动关系和单位的违法辞退行为。
3. 提起诉讼：对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼，通过法律手段维护自己的权益。

五、特殊情况说明

尽管孕期女职工享有特殊保护，但并非在所有情况下都不能被辞退。如果怀孕女职工存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反用人单位规章制度、严重失职给单位造成重大损害、与其他单位建立劳动关系影响本职工作等情形，或者被依法追究刑事责任，用人单位有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但这种情况并不常见，且需要单位提供充分证据来证明。

总结与建议：

私人单位不能因员工怀孕且未签合同就将其辞退。孕期女职工应了解自己的合法权益，并在遭遇违法辞退时积极维权。同时，建议单位在用工过程中遵守相关法律法规，尊重并保障员工的合法权益，避免违法行为带来的法律后果。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。