结论前置：私企在劳动合同到期时辞退孕妇，在大多数情况下是不合法的，但也存在一些特殊情况可以合法解除劳动合同。
一、不合法解除的情况
法律保护原则：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，女职工在孕期、产期、哺乳期的，用人单位不得依照该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。
- 同时，根据《劳动合同法》第四十五条，怀孕女职工劳动合同期满的，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止，即续延至孕期、产期、哺乳期结束，确保了孕期女职工在合同期满后的就业保障。
不合法解除的后果：
- 若用人单位违法解除与孕期女职工的劳动合同，根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 孕期女职工还有权要求用人单位继续履行劳动合同，除非劳动合同已经无法继续履行。
二、合法解除的情形
尽管法律对孕期女职工给予了特殊保护，但在以下特定情况下，用人单位可以合法解除劳动合同：
员工本人提出：
- 孕期女职工主动提出解除劳动合同，或与用人单位协商一致后解除。
员工存在过错：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，如果孕期女职工存在严重违反劳动纪律、用人单位规章制度，或违法犯罪等过错情形，如多次旷工、严重失职、营私舞弊、与其他单位建立劳动关系影响本职工作等，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
三、具体案例与法律分析
案例一：假设某私企在孕妇劳动合同到期时，以公司经营困难为由进行经济性裁员，辞退了该孕妇。这种做法是不合法的，因为根据《劳动合同法》第四十二条和第四十五条，孕期女职工受到特殊保护，不得在经济性裁员中被辞退，且劳动合同应续延至孕期结束。
案例二：另一私企中，一名孕妇严重违反了公司的规章制度，如多次旷工且未履行请假手续。在这种情况下，公司可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定，合法解除与该孕妇的劳动合同，且无需支付经济补偿。
四、建议与措施
加强法律宣传：
- 用人单位应定期对管理人员和人力资源部门进行《劳动合同法》等相关法律法规的培训，提高法律意识，确保在处理孕期女职工劳动合同问题时严格遵守法律规定。
完善内部管理制度：
- 明确劳动合同解除的条件和程序，特别是针对孕期女职工的特殊保护规定，确保解除行为的合法性，避免违法解除劳动合同的情况发生。
维护职工权益：
- 孕期女职工应充分了解自己的合法权益，如遇违法解除情况，应及时通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径维护自身权益。
综上所述，私企在劳动合同到期时辞退孕妇需严格遵循法律规定，确保在合法框架内进行。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。