结论概述：教师权益被侵害时，既可以选择申诉，也可以申请教育局行政履职，具体选择取决于侵害权益的性质、程度以及期望的解决方式。以下是对这两种途径的详细分析：

一、申诉途径

1. 申诉的定义与适用范围：

   • 申诉通常指公民、法人或其他组织认为其合法权益受到行政机关或行政机关工作人员的不当处理或侵犯时，向有关机关提出请求重新处理的制度。
   • 在教师权益被侵害的情境下，如果侵害行为涉及学校内部管理、职称评定、奖惩决定等，教师可以通过申诉途径来维护自己的权益。

2. 申诉的程序与效果：

   • 申诉程序一般包括提出申诉、受理申诉、审查申诉、作出处理决定等步骤。
   • 申诉的效果取决于申诉机关的处理决定。如果申诉被受理并得到公正处理，教师的权益可能得到恢复或补偿。

3. 申诉的局限性：

   • 申诉主要针对学校内部管理行为，对于外部侵权行为（如学生或家长对教师的侵权）可能不适用。
   • 申诉结果不具有强制执行力，如果申诉机关不作出公正处理，教师可能需要进一步寻求法律救济。

二、申请教育局行政履职途径

1. 行政履职的定义与适用范围：

   • 行政履职指行政机关根据法律规定或行政相对人的申请，履行其法定职责的行为。
   • 在教师权益被侵害的情境下，如果侵害行为涉及教育局的行政管理职责（如学校未依法保障教师权益、教育局未履行监管职责等），教师可以申请教育局行政履职。

2. 申请行政履职的程序与效果：

   • 申请程序一般包括提出申请、受理申请、审查申请、作出履职决定等步骤。
   • 如果教育局受理申请并依法履行职责，教师的权益可能得到及时有效的保障。
   • 行政履职决定具有强制执行力，如果教育局不履行职责或履行职责不当，教师可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。

3. 申请行政履职的优势：

   • 适用于涉及教育局行政管理职责的侵权行为，具有更广泛的适用范围。
   • 行政履职决定具有强制执行力，能够更有效地保障教师的权益。

三、综合建议

1. 根据侵害权益的性质选择途径：

   • 如果侵害行为主要涉及学校内部管理，如职称评定、奖惩决定等，建议优先选择申诉途径。
   • 如果侵害行为涉及教育局的行政管理职责，如学校未依法保障教师权益、教育局未履行监管职责等，建议选择申请教育局行政履职途径。

2. 考虑侵害权益的程度与期望解决方式：

   • 如果侵害权益程度较轻，且期望通过内部协商或调解解决，可以选择申诉途径。
   • 如果侵害权益程度较重，且期望通过法律手段得到及时有效的保障，建议选择申请教育局行政履职途径，并考虑进一步寻求法律救济（如行政复议、行政诉讼）。

3. 咨询专业律师以获取更具体的建议：

   • 在选择申诉或申请教育局行政履职途径时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。律师可以根据具体情况分析两种途径的优劣，并帮助教师制定更合适的维权策略。

作为颜忠军律师，我擅长处理交通事故、侵权纠纷、公司事务、劳动纠纷、合同纠纷、婚姻家庭等领域的法律问题。如果您在教师权益被侵害方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。