结论概述：事业单位人员请假无薪期间做零工是否可行，需结合请假类型、单位规章制度及劳动合同约定综合判断。以下从法律角度详细分析：

1. 请假类型与工资支付的法律关系

• 病假/医疗期：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，事业单位人员因病请假期间，单位需支付病假工资（通常为工资的70%-100%，具体比例按地方规定执行）。若单位完全停发工资，可能涉嫌违法，此时员工有权要求补发工资或通过劳动仲裁维权。在此期间做零工可能被视为“隐瞒病情从事其他工作”，单位可据此解除合同。
• 事假：事假期间单位可不支付工资，但需明确规章制度或劳动合同中对此的约定。若单位允许事假且未禁止兼职，员工做零工一般不违法；但若单位规章制度明确禁止兼职，员工可能面临纪律处分。
• 年休假/探亲假：此类假期为带薪假期，单位需正常支付工资。若单位以“请假”为由停发工资，员工可主张权利；做零工是否违规需看单位具体规定。

2. 单位规章制度与劳动合同的约束

• 规章制度：事业单位通常有内部规章制度，可能对员工兼职作出限制（如“不得从事与本单位有竞争关系的工作”“需提前报备”等）。若规章制度合法有效（经民主程序制定、公示且不违反法律强制性规定），员工需遵守；违反可能面临警告、扣薪甚至解除合同。
• 劳动合同：若劳动合同中明确约定“请假期间不得兼职”或“兼职需单位书面同意”，员工需履行合同义务；否则可能构成违约，单位可依据合同追究责任。

3. 兼职行为的合法性边界

• 无竞争关系：若零工与原单位业务无竞争（如事业单位文员利用假期做家教），通常不违法；但需确保不泄露单位机密或利用单位资源。
• 避免利益冲突：若零工涉及与原单位有业务往来的企业（如供应商、客户），可能涉嫌“利益输送”，单位有权制止并追究责任。
• 时间分配：需确保兼职不影响原单位工作（如请假期间本应休息，但因兼职导致无法按时返岗），单位可据此认定“严重违反规章制度”并解除合同。

4. 法律后果与风险防范

• 单位解除合同：若员工违反规章制度或劳动合同约定兼职，单位可依据《劳动合同法》第39条解除合同，且无需支付经济补偿。
• 工资纠纷：若单位违法停发工资，员工可申请劳动仲裁，要求补发工资及赔偿金（按应付金额50%-100%加付）。
• 风险防范建议：
  1. 提前与单位沟通，明确请假类型及工资支付方式；
  2. 查阅单位规章制度及劳动合同，确认兼职限制；
  3. 保留请假审批记录、工资条等证据，以备维权；
  4. 避免兼职影响原单位工作或泄露机密。

总结：事业单位人员请假无薪期间做零工是否可行，需结合请假性质、单位规定及合同约定综合判断。建议优先与单位协商，明确权利义务；若单位禁止兼职，需谨慎选择零工类型，避免法律风险。如有具体纠纷，可进一步向我咨询细节。