针对您提出的问题，我将分两部分进行解答：一是关于您母亲收养且没有外公外婆的情况对当兵的影响，二是关于当兵是否需要开具无犯罪记录证明。

一、关于您母亲收养且没有外公外婆的情况对当兵的影响

首先，需要明确的是，当兵的资格审核主要关注的是个人的身体条件、政治素质、学历要求等方面，而您母亲是否收养以及没有外公外婆这一家庭背景情况，通常并不会直接影响您当兵的资格。当兵的审核更侧重于您个人的表现和能力，而非家庭的具体构成或背景。因此，您无需因为这一家庭情况而担心无法当兵。

二、关于当兵是否需要开具无犯罪记录证明

是的，当兵通常需要开具无犯罪记录证明。这是为了确保应征者具有良好的政治素质和道德品质，符合军队对人员的要求。无犯罪记录证明是证明个人在一定时期内没有犯罪记录的重要文件，对于应征入伍、就业政审等场合都是必需的。

如何开具无犯罪记录证明：

1. 线上办理：如果您所在地区支持线上办理无犯罪记录证明（如天津地区可以通过天津公安民生服务平台线上开具），您可以按照平台提示的步骤进行操作。通常包括阅读办理须知、选择办理用途、选定证明起止时间、核对信息无误后提交等步骤。等待派出所审核后，您可以在平台上查看并下载打印电子证明文件，或者选择邮寄送达（费用由申请人承担）。

2. 线下办理：如果您所在地区不支持线上办理，或者您更倾向于线下办理，您可以前往户籍所在地的派出所或公安局进行申请。通常需要携带个人身份证、户口本等相关证件，并填写申请表格。办理时限可能因地区而异，但一般会在几个工作日内完成。

注意事项：

• 在办理无犯罪记录证明时，请确保提供的个人信息准确无误，以免影响证明的开具和使用。
• 如果您在一个自然年度内需要多次申请查询无犯罪记录证明，请注意部分地区可能对查询次数有限制，超过限制次数可能需要提供有关用途的佐证材料线下办理。
• 无犯罪记录证明的有效期通常有限，请在有效期内使用，过期后可能需要重新申请。

综上所述，您母亲收养且没有外公外婆的情况通常不会影响您当兵的资格，但您需要按照要求开具无犯罪记录证明以符合军队的审核要求。希望这些解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时咨询。