结论：公司开除员工后，能否要求员工履行竞业限制义务，需视具体情况而定，主要取决于双方是否签订了竞业限制协议以及该协议的具体内容。
一、若双方签订了竞业限制协议
协议效力：
- 竞业限制协议是双方真实意思表示，且不违反法律、行政法规的强制性规定，那么该协议是有效的。
- 有效的竞业限制协议对双方均具有约束力，公司开除员工后，员工仍需按照协议约定履行竞业限制义务。
公司义务：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，公司在要求员工履行竞业限制义务的同时，需按月给予员工经济补偿。
- 如果公司未支付经济补偿，员工有权拒绝履行竞业限制义务，甚至可以要求公司支付已履行竞业限制义务期间的补偿或解除竞业限制协议。
员工义务：
- 员工在离职后，需按照竞业限制协议的约定，不得在约定的期限内到与本公司生产或者经营同类产品、从事同类业务的有竞争关系的其他用人单位工作，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务。
- 如果员工违反竞业限制协议，公司有权要求员工承担违约责任，包括支付违约金、赔偿损失等。
二、若双方未签订竞业限制协议
无协议约束：
- 如果双方未签订竞业限制协议，那么公司无权要求员工履行竞业限制义务。
- 员工在离职后，可以自由选择工作，不受原公司的任何限制。
特殊情况：
- 即使双方未签订竞业限制协议，但如果员工在离职后利用在原公司掌握的商业秘密或技术秘密为竞争对手服务，给原公司造成损失的，原公司仍可以通过法律途径追究员工的侵权责任。
- 但这种情况下的法律责任与竞业限制义务是不同的，它基于的是侵权责任而非合同责任。
三、建议与注意事项
对于公司：
- 在开除员工前，应仔细审查与员工签订的竞业限制协议，确保协议内容合法、有效且明确。
- 如果希望员工在离职后履行竞业限制义务，应按时支付经济补偿，以维护协议的效力。
- 在开除员工时，应明确告知员工其竞业限制义务及违约责任，以避免后续纠纷。
对于员工：
- 在签订竞业限制协议时，应仔细阅读协议内容，确保自己了解并同意协议中的各项条款。
- 如果公司未支付经济补偿或违反协议约定，员工有权拒绝履行竞业限制义务或要求公司承担违约责任。
- 在离职后，应遵守竞业限制协议的约定，避免给自己带来不必要的法律风险。
最后，竞业限制问题涉及复杂的法律关系和利益平衡，如果你或你的公司面临相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。