结论：公司要求员工在签订两次劳动合同后与其他公司转签，这一行为是否合法，需根据具体情况来判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、劳动合同续签的法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，双方协商一致，可以续签劳动合同。若员工在公司连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有严重违反公司规章制度、不能胜任工作等法定情形，员工提出或者同意续订、订立劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
分析：
- 如果员工符合订立无固定期限劳动合同的条件，而公司拒绝续签并要求员工转签其他公司，这可能违反了劳动合同法的规定，员工有权要求公司继续履行原劳动合同或支付经济补偿。
- 如果员工不符合订立无固定期限劳动合同的条件，或者双方就续签条件无法达成一致，公司要求员工转签其他公司，则可能不构成违法。
二、公司要求转签的合法性判断
转签是否基于员工自愿：
- 如果公司要求员工转签其他公司是基于员工的自愿，且转签后的劳动合同条件（如工资、福利、工作地点等）不低于原劳动合同，那么这一行为可能是合法的。
- 如果公司强迫员工转签，或者转签后的劳动合同条件明显低于原劳动合同，那么这一行为可能构成违法。
转签是否涉及劳动合同主体的变更：
- 如果转签意味着劳动合同主体的变更（即从原公司变更为新公司），那么需要员工明确同意，并且新公司应承接原公司在原劳动合同中的权利和义务。
- 如果转签只是形式上的变更，而实际上员工仍在原公司工作，且原公司继续承担劳动合同中的权利和义务，那么这种转签可能只是公司为了规避法律责任而采取的一种手段，可能构成违法。
公司是否存在恶意规避法律的行为：
- 如果公司通过要求员工转签其他公司的方式，来规避支付经济补偿、签订无固定期限劳动合同等法律责任，那么这种行为可能构成恶意规避法律，是违法的。
三、员工的应对措施
- 与公司协商：员工可以与公司就转签问题进行协商，明确自己的权益和诉求，争取达成一个双方都能接受的解决方案。
- 寻求法律援助：如果员工认为公司的要求违法，或者自己在转签过程中受到了不公平对待，可以寻求法律援助，向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，甚至向人民法院提起诉讼。
建议：在面对公司要求转签的情况时，员工应首先了解自己的权益和法律规定，然后与公司进行充分沟通，明确自己的立场和诉求。如果无法达成一致，应及时寻求法律援助，维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。