结论：公司是否可以不续签第三个无固定期限劳动合同，需分情况讨论，一般情况下公司无合理理由不得拒绝续签，但若存在法定或双方约定情形，公司可能有权不续签。以下为具体分析：

1. 法律对无固定期限劳动合同续签的保护

根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同后，劳动者提出续订无固定期限劳动合同的，用人单位应当续订（除非劳动者存在《劳动合同法》第三十九条、第四十条第一项、第二项规定的情形，如严重违纪、不能胜任工作等）。
若您已满足“连续两次固定期限合同”的条件，且主动提出续签无固定期限合同，公司原则上必须续签，否则可能构成违法终止劳动合同，需支付赔偿金（2N，N为工作年限对应的经济补偿）。

2. 公司可能拒绝续签的例外情形

若公司能证明存在以下情形，可能无需续签：

• 劳动者存在过错：如严重违反公司规章制度、失职造成重大损失、被依法追究刑事责任等（《劳动合同法》第三十九条）；
  
• 劳动者不能胜任工作：经培训或调岗后仍无法胜任（《劳动合同法》第四十条第二项）；
  
• 客观情况重大变化：如公司破产、经营困难、业务转型等，导致合同无法履行（《劳动合同法》第四十条第三项）。
  但需注意：公司需承担举证责任，且需提前30日书面通知或支付代通知金（N+1）。

3. 孕期、产期、哺乳期（“三期”）女职工的特殊保护

根据《劳动合同法》第四十二条、第四十五条，“三期”女职工的劳动合同应顺延至相应情形消失时终止。
若您的第三个无固定期限合同到期时处于“三期”，公司必须顺延合同至哺乳期结束，此时“不续签”行为违法，需支付赔偿金。
例外：若您主动提出不续签，或存在上述过错情形，公司可依法终止合同。

4. 实务建议

• 保留证据：如劳动合同、续签通知、工资记录、孕期产检证明等，以证明公司违法终止；
  
• 协商沟通：可先与公司协商，明确续签意愿及法律依据；
  
• 投诉或仲裁：若协商无果，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张赔偿金或继续履行合同。

总结：公司是否可以不续签，需结合您的“三期”状态、公司举证能力及合同到期时间综合判断。若您处于“三期”且无过错，公司无权拒绝续签；若公司能证明法定情形，可能无需续签。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体细节。