在法定期限内未回复政府信息公开申请的相关部门，应当被要求履行职责。以下是对此问题的详细分析：

法律依据

根据《中华人民共和国政府信息公开条例》的相关规定，行政机关收到政府信息公开申请后，能够当场答复的，应当当场予以答复；不能当场答复的，应当自收到申请之日起20个工作日内予以答复（经政府信息公开工作机构负责人同意并告知申请人，可以延长20个工作日）。若行政机关未在法定期限内答复，则构成不履行法定职责。

法律后果

1. 行政复议：申请人可以向该行政机关的上一级行政机关或者政府信息公开工作主管部门提出行政复议申请，要求确认行政机关未履行政府信息公开职责的行为违法，并责令其限期答复。

2. 行政诉讼：申请人也可以直接向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决行政机关履行政府信息公开职责，或者确认其未履行职责的行为违法，并可能要求行政机关承担因此给申请人造成的损失。

实际操作建议

1. 发送履职申请：在发现行政机关未在法定期限内答复后，申请人可以先向该行政机关发送一份履职申请，明确要求其在一定期限内（如7个工作日）履行政府信息公开职责，并告知其若不履行将采取的法律措施。

2. 保留证据：在发送履职申请的同时，申请人应保留好所有与政府信息公开申请相关的证据，包括申请书、邮寄凭证、电子邮件截图等，以备在后续的行政复议或行政诉讼中使用。

3. 寻求法律援助：如果申请人对法律程序不熟悉或者觉得处理起来有困难，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到有效维护。

特殊情况考虑

• 信息不存在或不属于公开范围：如果行政机关认为申请人申请的信息不存在或者不属于政府信息公开范围，也应当在法定期限内告知申请人，并说明理由。若未告知，同样构成不履行法定职责。

• 涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私：如果申请人申请的信息涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私，行政机关在答复时应当依法进行保密处理，并告知申请人。但这并不免除其答复的义务。

总结来说，行政机关在法定期限内未回复政府信息公开申请，构成不履行法定职责。申请人可以通过行政复议或行政诉讼等途径来维护自己的权益。在实际操作中，建议申请人先发送履职申请，并保留好相关证据，必要时寻求专业律师的帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。