结论：下班后赶赴下一个兼职工作单位途中发生工伤，一般由兼职单位承担工伤保险责任，但具体责任划分还需综合考虑多种因素。以下是对此问题的详细分析：
一、兼职单位承担责任的情形
兼职单位缴纳了工伤保险：
- 如果兼职单位为员工缴纳了工伤保险，员工在兼职过程中发生工伤后，相关的工伤赔偿将由工伤保险基金和兼职单位按照《工伤保险条例》的规定分别承担。工伤保险基金支付的费用包括治疗工伤的医疗费用和康复费用、住院伙食补助费、到统筹地区以外就医的交通食宿费、安装配置伤残辅助器具所需费用等。兼职单位需支付的费用则包括治疗工伤期间的工资福利、五级和六级伤残职工按月领取的伤残津贴、终止或者解除劳动合同时应当享受的一次性伤残就业补助金等。
兼职单位未缴纳工伤保险：
- 若兼职单位没有为员工缴纳工伤保险，那么原本应由工伤保险基金支付的费用也将全部由兼职单位承担，包括医疗费、伤残补助金、就业补助金等。
二、原用人单位可能承担责任的情形及考量
原用人单位批准或认可兼职行为：
- 如果兼职行为是经过原用人单位批准或认可的，那么在兼职工作中受伤应被视为工伤，此时原用人单位理论上需要按照相关规定承担工伤赔偿责任。然而，这种情况较为罕见，因为大多数兼职行为并未得到原用人单位的明确批准。
责任划分的综合考量：
- 在处理此类问题时，需综合考虑多种因素，包括但不限于兼职行为的合法性、原用人单位的态度、兼职单位的保险缴纳情况等。例如，如果兼职行为未经原用人单位同意，且兼职单位也未缴纳工伤保险，那么责任划分可能更加复杂，需要具体分析。
三、法律建议与维权指导
及时咨询并保留证据：
- 劳动者在遭遇工伤后，应及时向我咨询，以便更好地了解自己的权益和维权途径。同时，保留好所有与兼职工作和工伤相关的证据材料，如劳动合同、工伤认定书、医疗费用单据等，以便在必要时进行维权。
申请工伤认定：
- 依据《中华人民共和国社会保险法》及《工伤保险条例》，劳动者有权在事故伤害发生之日起1年内直接向劳动保障部门提出工伤认定申请。申请时需提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料以及医疗诊断证明等。
考虑法律途径：
- 如果兼职单位或原用人单位拒绝承担责任，劳动者可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。这可能包括提起劳动仲裁或民事诉讼等。
总结与进一步思考：下班后赶赴下一个兼职工作单位途中发生工伤的责任划分是一个复杂的问题，需要综合考虑多种因素。劳动者应提高法律意识，确保自己的合法权益得到有效保障。在遇到此类问题时，及时向我咨询并寻求法律帮助是至关重要的。