结论前置：单位在员工因陪母亲看病等合理事由申请请假时，无正当理由拒绝的，可能构成违法。员工可以采取与单位协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等措施来维护自己的合法权益。
详细分析：
单位拒绝请假的合法性分析：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，员工享有休息休假的权利，包括病假、事假等。当员工因陪母亲看病等合理事由需要请假时，单位应当根据实际情况予以批准，除非存在特殊情况（如单位正处于紧急生产任务期、员工请假将严重影响单位正常运营等），且单位能够提供充分证据证明其拒绝请假的合理性。
- 如果单位无正当理由拒绝员工的合理请假申请，可能构成对员工休息休假权利的侵犯，员工有权依法维护自己的权益。
员工可采取的维权措施：
- 与单位协商：员工可以首先尝试与单位进行沟通，说明请假的原因和必要性，争取单位的理解和支持。在协商过程中，员工可以保留好相关证据，如请假申请、医疗证明等，以备不时之需。
- 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，反映单位拒绝请假的情况。劳动监察部门将依法进行调查处理，并可能对单位进行处罚。
- 申请劳动仲裁：员工还可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位承担违法责任，并赔偿因此造成的损失。劳动仲裁是解决劳动争议的一种有效方式，其裁决具有法律效力。
注意事项：
- 员工在请假时，应当尽量提前向单位提出申请，并说明请假的原因、时间和期限等，以便单位安排工作。
- 如果员工因特殊情况无法提前请假，应当及时向单位说明情况，并在事后补办请假手续。
- 员工在维权过程中，应当保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击等不当方式，以免影响自己的权益和形象。
举例说明：
假设小张因母亲突发疾病需要陪同就医，向单位提出了请假申请。但单位以工作繁忙为由拒绝了小张的请假申请。在这种情况下，小张可以先与单位进行协商，说明母亲病情的严重性和陪同就医的必要性。如果协商无果，小张可以向当地劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位承担违法责任并赔偿因此造成的损失。
后续行动建议：
如果您遇到了类似的情况，建议您先与单位进行友好协商，尽量达成共识。如果协商无果，您可以考虑向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。同时，您也可以保留好相关证据，如请假申请、医疗证明等，以备在维权过程中使用。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。