结论前置：员工在私企工作10年，公司未签合同，这一行为是违法的。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。这是法律的强制性规定，旨在保护劳动者的合法权益，明确双方的权利和义务。

2. 违法后果：

   • 如果公司未与员工签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 在您描述的情况下，员工已经工作10年，公司一直未签合同，那么公司不仅违反了法律规定，还可能面临支付员工11个月（因为第一个月不计算在内，从第二个月开始计算双倍工资，但考虑到员工已工作10年，实际支付的双倍工资月份可能受诉讼时效等因素影响，但理论上至少应支付部分月份的双倍工资）双倍工资的法律责任（具体月份需根据实际情况和诉讼时效来确定）。

3. 员工权益保护：

   • 员工有权要求公司补签书面劳动合同，并可以就未签合同期间的双倍工资差额向公司提出索赔。
   • 如果公司拒绝补签或支付双倍工资，员工可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

4. 实际操作建议：

   • 对于员工而言，首先应当收集并保存好与公司的劳动关系证明，如工资条、工作证、考勤记录等。
   • 然后，可以尝试与公司协商补签合同并支付双倍工资差额。
   • 如果协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

额外提醒：

• 除了未签合同的问题，员工还应当关注公司是否存在其他违法行为，如未缴纳社会保险、未支付加班费等，这些都可以作为员工维护自己合法权益的依据。
• 在处理此类纠纷时，建议员工保持冷静，理性维权，避免采取过激行为导致不必要的法律后果。

总结：公司未与员工签订书面劳动合同是违法的，员工有权要求公司补签合同并支付双倍工资差额。如果公司拒绝，员工可以通过法律途径来维护自己的合法权益。如果您有进一步的法律问题或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。