结论：收到劳动仲裁不予受理通知书后，劳动监察部门是否受理，取决于具体投诉事项是否属于劳动监察的受理范围，以及是否满足受理条件。若投诉事项属于劳动监察的职权范围且未超过时效、证据充分等，则劳动监察部门会受理；反之，则可能不予受理。

详细分析：

1. 劳动监察的受理范围：

   • 劳动监察主要负责监督检查用人单位执行劳动保障法律法规的情况，包括但不限于劳动合同签订、工资支付、社会保险缴纳等。
   • 若投诉事项属于这些范畴，且未涉及劳动争议仲裁或诉讼程序中的事项，劳动监察部门通常会受理。

2. 劳动仲裁不予受理与劳动监察受理的关系：

   • 劳动仲裁不予受理通知书仅表明该争议不适合通过劳动仲裁途径解决，或不符合劳动仲裁的受理条件。
   • 这并不意味着劳动监察部门也不会受理。劳动监察和劳动仲裁是两个独立的程序，各有其受理范围和条件。

3. 劳动监察不予受理的常见情形（这些情形同样适用于判断在收到劳动仲裁不予受理通知书后，劳动监察是否可能受理）：

   • 经济补偿金与赔偿金争议：这类争议通常属于劳动争议范畴，应通过劳动争议仲裁或诉讼程序解决。但如果是关于用人单位未依法支付经济补偿金或赔偿金的投诉，且该行为违反了劳动保障法律法规，劳动监察部门可能会受理以监督用人单位的违法行为。不过，若争议已进入仲裁或诉讼程序，劳动监察部门则不再受理。
   • 已进入法律程序的事项：对于已经申请劳动争议仲裁或提起诉讼的事项，劳动监察部门不再受理。
   • 非劳动保障监察职权范围的事项：如市场经营行为、税务问题等，不属于劳动监察的受理范围。
   • 超过劳动保障监察时效的违法行为：劳动保障监察时效一般为两年，自违反劳动保障法律、法规或规章的行为发生之日起计算。若违法行为已超过两年且不存在连续或继续状态，劳动监察部门可能不予受理。
   • 投诉请求不明确或缺乏必要证据：劳动者投诉时需明确指出被投诉的用人单位名称、地址等信息，清晰说明投诉的具体事项，并提供必要的证据材料。若投诉请求不明确或缺乏证据，劳动监察部门难以开展调查核实工作，通常会不予受理。
   • 已达成调解协议并已履行的事项：若劳动者与用人单位之间就劳动报酬等事项已达成调解协议，并且用人单位已按照协议履行了义务，双方的纠纷已得到解决。此时劳动者再以相同事由向劳动监察部门投诉，劳动监察部门一般不会再受理。

4. 建议：

   • 在收到劳动仲裁不予受理通知书后，若认为投诉事项仍属于劳动监察的受理范围，且未超过时效、证据充分等，可以向劳动监察部门投诉。
   • 投诉时，应明确指出被投诉的用人单位名称、地址等信息，清晰说明投诉的具体事项，并提供必要的证据材料。
   • 若对劳动监察部门的受理决定有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。

举例：

• 假设劳动者因用人单位未依法支付加班费而申请劳动仲裁，但仲裁委以“争议不属于劳动仲裁受理范围”为由不予受理。此时，劳动者可以向劳动监察部门投诉用人单位的违法行为，因为支付加班费属于劳动保障法律法规的范畴，且未超过劳动保障监察的时效。
• 反之，如果劳动者因与用人单位就经济补偿金发生争议而申请劳动仲裁，并被仲裁委不予受理（可能是因为已超过仲裁时效），此时劳动者再向劳动监察部门投诉要求支付经济补偿金，劳动监察部门可能因该争议已属于劳动争议范畴且已超过仲裁时效（可能也超过劳动保障监察时效）而不予受理。

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