结论：公司能否仅因您不倒垃圾就开除您，以及公司是否需要赔偿，取决于多个因素，包括公司的规章制度、您不倒垃圾的行为性质以及公司开除您的程序是否合法等。以下从不同角度为您详细分析：

1. 公司规章制度的角度：

   • 如果公司的规章制度中明确规定了员工必须完成倒垃圾等类似的工作任务，并且规定了违反此规定的处罚措施，包括开除，那么公司有权依据规章制度对您进行处罚。
   • 但是，即使规章制度中有相关规定，公司也需要确保这些规定是合法、合理且经过民主程序制定的，并且已经向您进行了公示或告知。如果规章制度存在违法或不合理之处，或者您并未被告知相关内容，那么公司依据这些规定开除您可能是不合法的。

2. 您不倒垃圾的行为性质：

   • 如果您不倒垃圾的行为是偶尔的、轻微的，并且没有对公司造成实质性的损害或影响，那么公司仅凭此行为就开除您可能过于严厉，且可能缺乏合理性。
   • 如果您不倒垃圾的行为是故意的、持续的，并且对公司造成了实质性的损害或影响（如垃圾堆积导致工作环境恶化、影响公司形象等），那么公司可能会认为您的行为构成了严重违反公司规章制度或劳动纪律，从而有权开除您。

3. 公司开除您的程序是否合法：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，公司开除员工需要遵循一定的程序，如提前通知、听取员工意见、进行调查等。如果公司未遵循这些程序就开除您，那么其开除行为可能是违法的。
   • 此外，如果公司开除您的理由不充分或存在歧视性，也可能构成违法解除劳动合同。

4. 公司是否需要赔偿：

   • 如果公司开除您的行为是违法的，那么您有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算通常依据您在公司的工作年限、工资水平等因素确定。
   • 具体来说，根据《劳动合同法》第四十七条的规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果公司违法解除劳动合同，您还可以要求公司支付双倍的经济补偿作为赔偿金。

建议：

• 首先，您可以查看公司的规章制度，了解其中是否有关于倒垃圾等工作的规定以及违反规定的处罚措施。
• 其次，您可以与公司沟通，了解公司开除您的具体原因和依据，并询问公司是否愿意进行协商解决。
• 如果公司坚持开除您且您认为其开除行为不合法，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付赔偿金或恢复劳动关系。

后续行动：

• 在处理此类纠纷时，建议您保留好相关证据，如公司规章制度、工作记录、沟通记录等，以便在需要时提供证明。
• 如果您对劳动法律法规不太熟悉，可以向我咨询，我会根据您的具体情况为您提供更详细的法律建议和帮助。